高考數(shù)學基本不等式的應用與常見錯誤評析

　　基本不等式及應用是高中階段一個重要的知識點；其方法靈活，應用廣范。在學習過程中要求孩子對公式的條件、形式、結論等要熟練掌握，才能靈活運用。

　　一、基本不等式：

　　1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，當且僅當a=b等號成立，

　　2.a,b∈R+，a+b≥2-，當且僅當a=b等號成立。

　　二、問題1：設ab﹤0,則:-+-的取值范圍是( )

　　(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)

　　解題辨析：

　　常見錯誤解法：因為-與-的積為定值，其和有較小值，

　　即-+-≥2所以選擇答案(D)。此解法是錯的，是因為-﹤0

　　-﹤0并不滿足不等式：a+b≥2-中字母的條件；

　　正確方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0

　　(--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正確答案是(A)

　　問題2：已知x是正實數(shù)，求函數(shù)y=x2+-的較小值？

　　解題辨析：

　　常見錯誤解法：因x是正實數(shù)，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的較小值是2-，當且僅當x2=-，即x=-時，等號成立；此解法錯誤的原因是x2與-的積

　　2-并不是定值。

　　正確結論：對于兩個正數(shù)a與b，

　　當和為定值，當且僅當a=b時，其積有較大值；

　　當積為定值，當且僅當a=b時，其和有較小值。

　　正確方法是：因x是正實數(shù)，y=x2+-=x2+-+-

　　≥3·■=3,

　　當且僅當：x2=-等號成立，即x=1時，y=x2+-的較小值是3

　　問題3：已知x,y都是正實數(shù)，且x+4y=1，求：-+-的較小值？

　　解題辨析：

　　常見錯誤解法：因為x,y都是正實數(shù)1=x+4y≥2-

　　即1≥4-＞0，-+-≥

　　2-＞0，兩式相乘得-+-≥8

　　所以-+-的較小值是8，此解法錯誤的原因是不等式x+4y≥2-取等號的條件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等號的條件是x=y，而這兩個條件不可能同時成立，因此-+-≥8中的等號不成立。

　　正確方法是：x,y都是正實數(shù)，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+

　　2-=9，當且僅當-=-等號成立，

　　即當且僅當x=-，y=-時，-+-取得較小值是9

　　問題4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的較大值？

　　解題辨析：

　　常見錯誤解法：

　　xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3

　　即：xm+yn的較大值為3

　　此解法錯誤的原因是當xm+yn取得較大值3時，x=m，y=n要同時成立，即有x2+y2=m2+n2，而這是不可能的。

　　正確解法：因為x2+y2=2,m2+n2=4，兩式相乘

　　8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn

　　8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-

　　即當且僅當xn=ym時，xm+yn取較大值為2-

　　總之，基本不等式解決問題并不是通用的。學習過程中，要深刻理解基本不等式的內在實質，搞清其條件、公式、結論之間的辯證關系是關鍵。特別對于第二個基本不等式，我們常說“一正、二定、三等號”，其意義就在于此。

　　訓練題

　　一、填空題：

　　1.已知x,y都是正實數(shù)，且-+-=1,則x+y較小值是_______，

　　當且僅當x=_______,y=_______,

　　2.已知：abc均為實數(shù)，且a2+b2+c2=1,則ab+bc+ca的較大值是________

　　較小值是_________。

　　3.已知：a,b都是正實數(shù)，且a+b=1，則(a+-)2+(b+-)2的較小值是__________。

　　二、選擇題：

　　1.已知：a,b都是正實數(shù)，且a+b=1，則-+-的較大值是( )

　　(A)-(B)-(C)2-(D)3

　　2.已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,則實數(shù)c的范圍是( )

　　(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]

　　三、解答題：

　　1.已知矩形的面積與其周長相等，求其面積的較小值？

　　2.⑴比較大�。憨S23_____㏒34,㏒56______㏒67

　　⑵根據上述結論作出推廣，試寫出一個有關于自然數(shù)n的不等式，并證明之。

　　答案：

　　一、 填空題：

　　1. x+y較小值是9， 當且僅當 x=6,y=3。

　　2. ab+bc+ca的較大值是1 , 較小值是--。

　　3.(a+-)2+(b+-)2的較小值是- ,　　二、 選擇題：

　　1.(C), 2.(D)

　　三、 解答題：

　　1.16

　　2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67

　�、� ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要證明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。

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