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三角形內(nèi)角和定理證明中化歸思想的滲透

2007-11-28 10:24:15  來(lái)源:網(wǎng)絡(luò) 文章作者:馬 軍

所謂化歸思想,就是在面臨新問(wèn)題時(shí),總企圖將它轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已經(jīng)解決了的問(wèn)題或者比較熟悉的問(wèn)題來(lái)解決。初中數(shù)學(xué)尤其是幾何教學(xué)中,很多問(wèn)題都可以用運(yùn)化歸思想來(lái)解決。

 

  三角形內(nèi)角和定理  三角形三個(gè)內(nèi)角的和等干180°

 

  已知:△ABC(如圖1).求證:∠A+B+C=180°.

                      

 

  三角形內(nèi)角和定理有多種證明方法,那么,這些證法都是怎樣想到的呢?我們下面來(lái)作一下分析,

 

  思路一  要證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°,聯(lián)想到平角的大小是180°.因此,便設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角,為此,用輔助線構(gòu)造出一個(gè)平角,再用輔助線(平行線)"移動(dòng)"內(nèi)角,將其集中起來(lái),或用其它方法將其集中起來(lái),這就是"拼角"的思路[!--empirenews.page--].

移動(dòng)內(nèi)角(或用其它方法)把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角

 


  根據(jù)這個(gè)思路,可設(shè)計(jì)出多種證法,證法如下:

 

  證法一  延長(zhǎng)邊BC,CD是延長(zhǎng)線,并過(guò)頂點(diǎn)CCEBA(如圖2),則∠1=A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=B(兩直線平行,同位角相等).

 

  又∵∠1+2+ACB180°  (平角的定義),[!--empirenews.page--]

 

∴∠A+B+ACB180°.

 

        

 

  證法二  過(guò)頂點(diǎn)CDEAB(如圖3),則∠1=∠A,∠2=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)

 

  又∵∠1+ACB+2180°(平角的定義),

 

[!--empirenews.page--]∴∠A+ACB+B180°

 

 

 

 

 

 

 

 


  證法三BC邊上任取一點(diǎn)D,作DEBA,DFCA,分別交ACE,交ABF(如圖4),則有∠2=∠B,∠3∠[!--empirenews.page--]C(兩直線平行,同位角相等),

 

  ∠1=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),

 

  ∠4=∠A(兩直線平行,同位角相等),

 

  ∴∠1=∠A(等量代換).

 

  又∵∠1+2+3180°(平角的定義),

 

∴∠A+B+C180°.

[!--empirenews.page--]
 

 

 

 

 

 


  證法四  BC的延長(zhǎng)線CD,在△ABC的外部以CA為一邊,CE為另一邊畫∠1=∠A(如圖5),于是CEBA(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).

 

  ∴∠B=∠2(兩直線平行,同位角相等).

 

  又∵∠1+2+ACB180°[!--empirenews.page--](平角的定義),

 

∴∠A+B+ACB=180°.

 


  證法五  在△ABC的內(nèi)部任取一點(diǎn)D,連結(jié)AD、BD,并延長(zhǎng)分別交邊BC、AC于點(diǎn)E、F,再連結(jié)CD(如圖6),則有∠7=1+2,∠8=∠3+4,∠9=5+6(三角形的任何一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和[!--empirenews.page--]).

 

  又∵∠7+8+9=180° (平角的定義),

 

  ∴∠1+2+3+4+5+6=180°.

 

即∠BAC+ABC+ACB=180°.

 

 

 

 

 

 


[!--empirenews.page--]

  思路二 我們知道,平行線的同旁內(nèi)角之和為180°,那么,能否將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平行線的一組同旁內(nèi)角呢?

 

  根據(jù)這一思路,也可以設(shè)計(jì)出多種證法,證法如下:

 

  證法六  過(guò)頂點(diǎn)CCDBA(如圖7),則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)

 

  ∵CDBA.

 

  ∴∠1+ACB+B180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))

 

∴∠A+ACB+[!--empirenews.page--]B180°.

 

 

 

 

 

 


  證法七  任作射ADBCD,分別過(guò)點(diǎn)B、CBEDACFDA(如圖8),則有∠1=∠3,∠2=∠4(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

 

  ∵BE∥[!--empirenews.page--]DA,CFDA,

 

  ∴BECF.

 

  ∴∠3+ABC+ACB+4180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))

 

  ∴∠1+ABC+ACB+2180°.

 

∴∠BAC+ABC+ACB180°.

 

[!--empirenews.page--]
 

 

 

 

 

 


上面兩種證明思路,都是化歸思想的體現(xiàn).這種思想是一種重要的解題策略,它可以幫助我們確定思考的方向.

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