2014年中考：初中數(shù)學(xué)常用輔助線(xiàn)如何添加

2014-05-08 11:03:31 　來(lái)源：考試吧

　　人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問(wèn)題的，當(dāng)問(wèn)題的條件不夠時(shí)，添加輔助線(xiàn)構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問(wèn)題，這是解決問(wèn)題常用的策略。

　　一.添輔助線(xiàn)有二種情況：

　　1按定義添輔助線(xiàn)：

　　如證明二直線(xiàn)垂直可延長(zhǎng)使它們相交后證交角為90°;證線(xiàn)段倍半關(guān)系可倍線(xiàn)段取中點(diǎn)或半線(xiàn)段加倍;證角的倍半關(guān)系也可類(lèi)似添輔助線(xiàn)。

　　2按基本圖形添輔助線(xiàn)：

　　每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們

　　把它叫做基本圖形，添輔助線(xiàn)往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線(xiàn)”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”!這樣可防止亂添線(xiàn)，添輔助線(xiàn)也有規(guī)律可循。舉例如下：

　　(1)平行線(xiàn)是個(gè)基本圖形：

　　當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線(xiàn)時(shí)添輔助線(xiàn)的關(guān)鍵是添與二條平行線(xiàn)都相交的等第三條直線(xiàn)

　　(2)等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：

　　當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線(xiàn)段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形。

　　(3)等腰三角形中的重要線(xiàn)段是個(gè)重要的基本圖形：

　　出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線(xiàn);出現(xiàn)角平分線(xiàn)與垂線(xiàn)組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線(xiàn)段的基本圖形。

　　(4)直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形

　　出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線(xiàn)。出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且倍線(xiàn)段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線(xiàn)得直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形。

　　(5)三角形中位線(xiàn)基本圖形

　　幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線(xiàn)基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線(xiàn)時(shí)則添中位線(xiàn)，當(dāng)有中位線(xiàn)三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形; 當(dāng)出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且與倍線(xiàn)段有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形;當(dāng)出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且與半線(xiàn)段的端點(diǎn)是某線(xiàn)段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線(xiàn)段的端點(diǎn)添半線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形。

　　(6)全等三角形：

　　全等三角形有軸對(duì)稱(chēng)形，中心對(duì)稱(chēng)形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等;如果出現(xiàn)兩條相等線(xiàn)段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)就可以添加軸對(duì)稱(chēng)形全等三角形：或添對(duì)稱(chēng)軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線(xiàn)段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線(xiàn)時(shí)可添加中心對(duì)稱(chēng)形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線(xiàn)

　　(7)相似三角形：

　　相似三角形有平行線(xiàn)型(帶平行線(xiàn)的相似三角形)，相交線(xiàn)型，旋轉(zhuǎn)型;當(dāng)出現(xiàn)相比線(xiàn)段重疊在一直線(xiàn)上時(shí)(中點(diǎn)可看成比為1)可添加平行線(xiàn)得平行線(xiàn)型相似三角形。若平行線(xiàn)過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線(xiàn)段為平行方向，這類(lèi)題目中往往有多種淺線(xiàn)方法。

　　(8)特殊角直角三角形

　　當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2;30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進(jìn)行證明

　　(9)半圓上的圓周角

　　出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角;出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦---直徑;平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。

　　二.基本圖形的輔助線(xiàn)的畫(huà)法

　　1.三角形問(wèn)題添加輔助線(xiàn)方法

　　方法1：有關(guān)三角形中線(xiàn)的題目，常將中線(xiàn)加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線(xiàn)，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。

　　方法2：含有平分線(xiàn)的題目，常以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。

　　方法3：結(jié)論是兩線(xiàn)段相等的題目常畫(huà)輔助線(xiàn)構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線(xiàn)段的一些定理。

　　方法4：結(jié)論是一條線(xiàn)段與另一條線(xiàn)段之和等于第三條線(xiàn)段這類(lèi)題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線(xiàn)段分成兩部分，證其中的一部分等于先進(jìn)條線(xiàn)段，而另一部分等于第二條線(xiàn)段。

　　2.平行四邊形中常用輔助線(xiàn)的添法

　　平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線(xiàn)都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線(xiàn)方法上也有共同之處，目的都是造就線(xiàn)段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：

　　(1)連對(duì)角線(xiàn)或平移對(duì)角線(xiàn)：

　　(2)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形

　　(3)連接對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)作一邊的平行線(xiàn)，構(gòu)造線(xiàn)段平行或中位線(xiàn)

　　(4)連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線(xiàn)段或延長(zhǎng)這條線(xiàn)段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。

　　(5)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，構(gòu)成線(xiàn)段平行或三角形全等.

　　3.梯形中常用輔助線(xiàn)的添法

　　梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線(xiàn)的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線(xiàn)有：

　　(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。

　　(2)梯形外平移一腰

　　(3)梯形內(nèi)平移兩腰

　　(4)延長(zhǎng)兩腰

　　(5)過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高

　　(6)平移對(duì)角線(xiàn)

　　(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。

　　(8)過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)。

　　(9)作中位線(xiàn)

　　當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和中，添加的輔助線(xiàn)并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線(xiàn)這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

　　4.圓中常用輔助線(xiàn)的添法

　　在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線(xiàn)的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高孩子分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。

　　(1)見(jiàn)弦作弦心距

　　有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑)，通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

　　(2)見(jiàn)直徑作圓周角

　　在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。

　　(3)見(jiàn)切線(xiàn)作半徑

　　命題的條件中含有圓的切線(xiàn)，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線(xiàn)與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。

　　(4)兩圓相切作公切線(xiàn)

　　對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)或作它們的連心線(xiàn)，通過(guò)公切線(xiàn)可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

　　(5)兩圓相交作公共弦

　　對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。