初三數(shù)學知識點整理第三章：二次函數(shù)

　　二次函數(shù)

　　I.定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函數(shù)的三種表達式

　　一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

　　頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P（h，k）]

　　交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

　　III.二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x?的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x = -b/2a。

　　對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

　　當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

　　當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

　　5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6.拋物線與x軸交點個數(shù)

　　Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

　　V.二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c，

　　當y=0時，二次函數(shù)為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

　　即ax^2;+bx+c=0

　　此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

　　答案補充

　　畫拋物線y＝ax2時，應先列表，再描點，較后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于、描點的整數(shù)值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。

　　二次函數(shù)解析式的幾種形式

　　(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).

　　(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

　　(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.

　　說明：(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點

　　答案補充

　　如果圖像經過原點，并且對稱軸是y軸，則設y=ax^2；如果對稱軸是y軸，但不過原點，則設y=ax^2+k

　　定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax^2+bx+c

　�。╝，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

　　x是自變量，y是x的函數(shù)

　　二次函數(shù)的三種表達式

　�、僖话闶剑簓=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

　　②頂點式[拋物線的頂點 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k

　�、劢稽c式[僅于與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)

　　以上3種形式可進行如下轉化：

　　①一般式和頂點式的關系

　　對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即

　　h=-b/2a=(x1+x2)/2

　　k=(4ac-b^2)/4a

　�、谝话闶胶徒稽c式的關系

　　x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)