高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點

2016-05-25 11:27:25 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　導(dǎo)數(shù)(Derivative)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量X在一點x0上產(chǎn)生一個增量Δx時，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f‘(x0)或df/dx(x0)。

　　導(dǎo)數(shù)的定義：

　　當(dāng)自變量的增量Δx=x-x0，Δx→0時函數(shù)增量Δy=f(x)-f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限，就說函數(shù)f在x0點可導(dǎo)，稱之為f在x0點的導(dǎo)數(shù)(或變化率)。

　　函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)f’(x0)的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0[x0，f(x0)]點的切線斜率(導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率)。

　　一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的增減性(單調(diào)性)的法則：設(shè)y=f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。如果在(a，b)內(nèi)，f‘(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間是單調(diào)增加的(該點切線斜率增大，函數(shù)曲線變得“陡峭”，呈上升狀)。如果在(a，b)內(nèi)，f’(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，當(dāng)f‘(x)=0時，y=f(x)有極大值或極小值，極大值中較大者是較大值，極小值中較小者是較小值

　　求導(dǎo)數(shù)的步驟：

　　求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟：

　　①求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均變化率③取極限，得導(dǎo)數(shù)。

　　導(dǎo)數(shù)公式：

　�、貱’=0(C為常數(shù)函數(shù))；②(x^n)‘=nx^(n-1)(n∈Q*)；熟記1/X的導(dǎo)數(shù)③(sinx)’=cosx；(cosx)‘=-sinx；(tanx)’=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2-(cotx)‘=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2(secx)’=tanx？secx(cscx)‘=-cotx？cscx(arcsinx)’=1/(1-x^2)^1/2(arccosx)‘=-1/(1-x^2)^1/2(arctanx)’=1/(1+x^2)(arccotx)‘=-1/(1+x^2)(arcsecx)’=1/(|x|(x^2-1)^1/2)(arccscx)‘=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)④(sinhx)’=hcoshx(coshx)‘=-hsinhx(tanhx)’=1/(coshx)^2=(sechx)^2(coth)‘=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2(sechx)’=-tanhx？sechx(cschx)‘=-cothx？cschx(arsinhx)’=1/(x^2+1)^1/2(arcoshx)‘=1/(x^2-1)^1/2(artanhx)’=1/(x^2-1)(|x|<1)(arcothx)‘=1/(x^2-1)(|x|>1)(arsechx)’=1/(x(1-x^2)^1/2)(arcschx)‘=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤(e^x)’=e^x；(a^x)‘=a^xlna(ln為自然對數(shù))(Inx)’=1/x(ln為自然對數(shù))(logax)‘=(xlna)^(-1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)’=[2(x^1/2)]^(-1)(1/x)‘=-x^(-2)

　　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

　　1。函數(shù)的單調(diào)性

　　(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。一般地，在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f’(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f‘(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f’(x)=0，則f(x)是常數(shù)函數(shù)。注意：在某個區(qū)間內(nèi)，f‘(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時f’(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時就必須寫f‘(x)≥0。(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(不要按圖索驥緣木求魚這樣創(chuàng)新何言？1。定義較基礎(chǔ)求法2。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性)①確定f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③由(或)解出相應(yīng)的x的范圍。當(dāng)f’(x)>0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f‘(x)<0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)。

　　2。函數(shù)的極值

　　(1)函數(shù)的極值的判定①如果在兩側(cè)符號相同，則不是f(x)的極值點；②如果在附近的左右側(cè)符號不同，那么，是極大值或極小值。

　　3。求函數(shù)極值的步驟

　�、俅_定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③在定義域內(nèi)求出所有的駐點與導(dǎo)數(shù)不存在的點，即求方程及的所有實根；④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值。

　　4。函數(shù)的較值

　　(1)如果f(x)在[a，b]上的較大值(或較小值)是在(a，b)內(nèi)一點處取得的，顯然這個較大值(或較小值)同時是個極大值(或極小值)，它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值(或極小值)中較大的(或較小的)，但是較值也可能在[a，b]的端點a或b處取得，極值與較值是兩個不同的概念。(2)求f(x)在[a，b]上的較大值與較小值的步驟①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個是較大值，較小的一個是較小值。

　　5。生活中的優(yōu)化問題

　　生活中經(jīng)常遇到求利潤較大、用料較省、效率較高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱為較值問題。解決這些問題具有非�，F(xiàn)實的意義。這些問題通�？梢赞D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的較大(小)值問題。