高二數(shù)學知識點解析：排列組合公式

2016-12-08 17:59:04 　來源：網絡整理

　　
　　
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　　排列組合公式/排列組合公式
　　
　　排列P------和順序有關
　　
　　組合C-------不牽涉到順序的問題
　　
　　排列分順序，組合不分
　　
　　例如把5本不同的書分給3個人，有幾種分法."排列"
　　
　　把5本書分給3個人，有幾種分法"組合"
　　
　　1．排列及公式
　　
　　從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號p(n，m)表示.
　　
　　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(規(guī)定0！=1).
　　
　　2．組合及公式
　　
　　從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號
　　
　　c(n，m)表示.
　　
　　c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；
　　
　　3．其他排列與組合公式
　　
　　從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！.
　　
　　n個元素被分成k類，每類的個數(shù)分別是n1，n2，...nk這n個元素的全排列數(shù)為
　　
　　n！/(n1！*n2！*...*nk！).
　　
　　k類元素，每類的個數(shù)無限，從中取出m個元素的組合數(shù)為c(m+k-1，m).
　　
　　排列（Pnm(n為下標，m為上標)）
　　
　　Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）�。ㄗⅲ�！是階乘符號）；Pnn（兩個n分別為上標和下標）=n！；0！=1；Pn1（n為下標1為上標）=n
　　
　　組合（Cnm(n為下標，m為上標)）
　　
　　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m�。╪-m）！；Cnn（兩個n分別為上標和下標）=1；Cn1（n為下標1為上標）=n；Cnm=Cnn-m
　　
　　2008-07-0813：30
　　
　　公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N-元素的總個數(shù)R參與選擇的元素個數(shù)！-階乘，如9�。�9*8*7*6*5*4*3*2*1
　　
　　從N倒數(shù)r個，表達式應該為n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1)；
　　
　　因為從n到（n-r+1)個數(shù)為n－（n-r+1)＝r
　　
　　舉例：
　　
　　Q1：有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)？
　　
　　A1：123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”范疇。
　　
　　上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988，997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應該有9-1種可能，個位數(shù)則應該只有9-1-1種可能，較終共有9*8*7個三位數(shù)。公式＝P（3，9)＝9*8*7，(從9倒數(shù)3個的乘積）
　　
　　Q2：有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”？
　　
　　A2：213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”范疇。
　　
　　上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復的個數(shù)即為較終組合數(shù)C(3，9)=9*8*7/3*2*1
　　
　　排列、組合的概念和公式典型例題分析
　　
　　例1設有3名孩子和4個課外小組．（1）每名孩子都只參加一個課外小組；（2）每名孩子都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名孩子參加．各有多少種不同方法？
　　
　　解（1）由于每名孩子都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法．
　　
　�。�2）由于每名孩子都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名孩子參加，因此共有種不同方法．
　　
　　點評由于要讓3名孩子逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行．
　　
　　例2排成一行，其中不排先進，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？
　　
　　解依題意，符合要求的排法可分為先進個排、、中的某一個，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：
　　
　　∴符合題意的不同排法共有9種．
　　
　　點評按照分“類”的思路，本題應用了加法原理．為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學模型．
　　
　　例３判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并出結果．
　　
　　（1）高三年級孩子會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？
　　
　　（2）高二年級數(shù)學課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學診斷，有多少種不同的選法？
　　
　�。�3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個質數(shù)：①從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？