為北京考生助力！高一人教版文科數學知識點

2020-03-19 23:12:29 　來源：網絡整理

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為北京考生助力！高一人教版文科數學知識點！高中的學習與初中的學習想必，知識點更加深刻，題目難度加大，內容也更多。所以大家在高中的學習時不能一直沿用初中那種學習方法，有時候你會發(fā)現本來初中學得還可以的，但是到了高中就不太實用了。所以大家一定要及時轉變思維。

　　先進章 集合與函數概念

　　一、集合有關概念

　　1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

　　2、集合的中元素的三個特性：

　　1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性

　　說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

　　(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

　　(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

　　(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

　　3、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意�。撼Ｓ脭导�及其記法：

　　非負整數集(即自然數集)記作：N

　　正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

　　關于“屬于”的概念

　　集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 a∈A ，相反，a不屬于集合A 記作 a?A

　　列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

　　描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

　�、僬Z言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

　　4、集合的分類：

　　1.有限集 含有有限個元素的集合

　　2.無限集 含有無限個元素的集合

　　3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝二、集合間的基本關系1.“包含”關系—子集注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2.“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

　　結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

　�、� 任何一個集合是它本身的子集。AíA

　�、谡孀蛹�:如果AíB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)

　�、廴绻� AíB, BíC ,那么 AíC

　�、� 如果AíB 同時 BíA 那么A=B

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

　　三、集合的運算

　　1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

　　記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

　　3、交集與并集的性質：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,

　　A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

　　4、全集與補集

　　(1)補集：設S是一個集合，A是S的一個子集(即 )，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)

　　記作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}

　　S

　　CsA

　　A

　　(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

　　(3)性質：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

　　二、函數的有關概念

　　1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有先進確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.

　　注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;3 函數的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

　　定義域補充

　　能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數不小于零; (3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

　　(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)

　　構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

　　再注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)

　　(見課本21頁相關例2)

　　值域補充

　　(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。

　　3. 函數圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.

　　C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

　　圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線較多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

　　(2) 畫法

　　A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，較后用平滑的曲線將這些點連接起來.

　　B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

　　常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

　　(3)作用：

　　1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

　　發(fā)現解題中的錯誤。

　　4.快去了解區(qū)間的概念

　　(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數軸表示.

　　5.什么叫做映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有先進確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A B”

　　給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對于映射f：A→B來說，則應滿足：(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是先進的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　常用的函數表示法及各自的優(yōu)點：

　　1 函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;2 解析法：必須注明函數的定義域;3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特征;4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.

　　注意�。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮抵�。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值

　　補充一：分段函數 (參見課本P24-25)

　　在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

　　補充二：復合函數

　　如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的復合函數。

　　例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

　　7.函數單調性

　　(1).增函數

　　設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.

　　注意：1 函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質;

　　2 必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2;當x1

　　(2) 圖象的特點

　　如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

　　(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法

　　(A) 定義法：

　　1 任取x1，x2∈D，且x1

　　(B)圖象法(從圖象上看升降)_

　　(C)復合函數的單調性

　　復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律如下：

　　函數

　　單調性

　　u=g(x)

　　增

　　增

　　減

　　減

　　y=f(u)

　　增

　　減

　　增

　　減

　　y=f[g(x)]

　　增

　　減

　　減

　　增

　　注意：1、函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎?

　　8.函數的奇偶性

　　(1)偶函數

　　一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.

　　(2).奇函數

　　一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.

　　注意：1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質;函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。

　　2 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱).

　　(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征

　　偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.

　　總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：1 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱;2 確定f(-x)與f(x)的關系;3 作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數.

　　注意�。汉瘮刀�義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .

　　9、函數的解析表達式

　　(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

　　(2).求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

　　10.函數較大(小)值(定義見課本p36頁)

　　1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的較大(小)值2 利用圖象求函數的較大(小)值3 利用函數單調性的判斷函數的較大(小)值：如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有較大值f(b);如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有較小值f(b);

　　第二章 基本初等函數

　　一、指數函數

　　(一)指數與指數冪的運算

　　1.根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈ *.

　　當 是奇數時，正數的 次方根是一個正數，負數的 次方根是一個負數.此時， 的 次方根用符號 表示.式子 叫做根式(radical)，這里 叫做根指數(radical exponent)， 叫做被開方數(radicand).

　　當 是偶數時，正數的 次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號- 表示.正的 次方根與負的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作 。

　　注意：當 是奇數時， ，當 是偶數時，

　　2.分數指數冪

　　正數的分數指數冪的意義，規(guī)定：

　　，

　　0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

　　指出：規(guī)定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.

　　3.實數指數冪的運算性質

　　(1) · ;

　　(2) ;

　　(3) .

　　(二)指數函數及其性質

　　1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數(exponential )，其中x是自變量，函數的定義域為R.

　　注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

　　2、指數函數的圖象和性質

　　a>1

　　0

　　圖象特征

　　函數性質

　　向x、y軸正負方向無限延伸

　　函數的定義域為R

　　圖象關于原點和y軸不對稱

　　非奇非偶函數

　　函數圖象都在x軸上方

　　函數的值域為R+

　　函數圖象都過定點(0，1)

　　自左向右看，

　　圖象逐漸上升

　　自左向右看，

　　圖象逐漸下降

　　增函數

　　減函數

　　在先進象限內的圖象縱坐標都大于1

　　在先進象限內的圖象縱坐標都小于1

　　在第二象限內的圖象縱坐標都小于1

　　在第二象限內的圖象縱坐標都大于1

　　圖象上升趨勢是越來越陡

　　圖象上升趨勢是越來越緩

　　函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快;

　　函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;

　　注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

　　(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;

　　(2)若 ，則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;

　　(3)對于指數函數 ，總有 ;

　　(4)當 時，若 ，則 ;

　　二、對數函數

　　(一)對數

　　1.對數的概念：一般地，如果 ，那么數 叫做以 為底 的對數，記作： ( — 底數， — 真數， — 對數式)

　　說明：1 注意底數的限制 ，且 ;

　　2 ;

　　3 注意對數的書寫格式.

　　兩個重要對數：

　　1 常用對數：以10為底的對數 ;

　　2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 .

　　對數式與指數式的互化

　　對數式 指數式

　　對數底數 ← → 冪底數

　　對數 ← → 指數

　　真數 ← → 冪

　　(二)對數的運算性質

　　如果 ，且 ， ， ，那么：

　　1 · + ;

　　2 - ;

　　3 .

　　注意：換底公式

　　( ，且 ; ，且 ; ).

　　利用換底公式推導下面的結論(1) ;(2) .

　　(二)對數函數

　　1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是(0，+∞).

　　注意：1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。

　　如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.

　　2 對數函數對底數的限制： ，且 .

　　2、對數函數的性質：

　　a>1

　　0

　　圖象特征

　　函數性質

　　函數圖象都在y軸右側

　　函數的定義域為(0，+∞)

　　圖象關于原點和y軸不對稱

　　非奇非偶函數

　　向y軸正負方向無限延伸

　　函數的值域為R

　　函數圖象都過定點(1，0)

　　自左向右看，

　　圖象逐漸上升

　　自左向右看，

　　圖象逐漸下降

　　增函數

　　減函數

　　先進象限的圖象縱坐標都大于0

　　先進象限的圖象縱坐標都大于0

　　第二象限的圖象縱坐標都小于0

　　第二象限的圖象縱坐標都小于0

　　(三)冪函數

　　1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數.

　　2、冪函數性質歸納.

　　(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過點(1，1);

　　(2) 時，冪函數的圖象通過原點，并且在區(qū)間 上是增函數.特別地，當 時，冪函數的圖象下凸;當 時，冪函數的圖象上凸;

　　(3) 時，冪函數的圖象在區(qū)間 上是減函數.在先進象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.

　　第三章 函數的應用

　　一、方程的根與函數的零點

　　1、函數零點的概念：對于函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。

　　2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。即：

　　方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點.

　　3、函數零點的求法：

　　求函數 的零點：

　　1 (代數法)求方程 的實數根;

　　2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點.

　　4、二次函數的零點：

　　二次函數 .

　　1)△>0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.

　　2)△=0，方程 有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

　　3)△<0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點。

 

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