三角形面積公式的應(yīng)用與探究

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，由解直角三角形易得三邊上的高h(yuǎn)_a，h_b，h_c，根據(jù)面積公式，可以推導(dǎo)出另一面積公式. 由此公式，可以直接已知兩邊及夾角的三角形面積，并解決一些與面積相關(guān)的問題.

一、應(yīng)用面積公式，推導(dǎo)正弦定理

例1設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，求證：.

證明：由三角形面積公式，得到，

即.

上式同時(shí)除以abc，得到.

所以，.

點(diǎn)評：三角形面積公式由直角三角形的邊角關(guān)系表示出各邊上的高之后再推導(dǎo)出來，再運(yùn)用它推導(dǎo)正弦定理，實(shí)質(zhì)就是教材中正弦定理推導(dǎo)過程的簡化.

二、活用代數(shù)變形，推導(dǎo)海倫公式

例2 △ABC的三邊為a，b，c，設(shè)，求證：.

證明：==

        =

        =

        =

        =

        =

        = .

點(diǎn)評：此例的結(jié)論，就是海倫公式，可以由三角形的三邊a、b、c直接求出三角形的面積. 海倫公式據(jù)說是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決的，但較早出現(xiàn)于古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）的著作《測地術(shù)》中，公式的形式漂亮，且便于記憶. 我國大數(shù)學(xué)家秦九韶在也發(fā)現(xiàn)與海倫公式本質(zhì)上相同的“三斜求積”公式，并記載于他寫的《數(shù)書九章》中. 如果由三角形面積和，得，，根據(jù)，整理后也可得到海倫公式.

三、結(jié)合面積公式，研究三角問題

例3 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.

（1）若a=4，b=5，S=5，求c的長度；

（2）若三角形的面積S=，求∠C的度數(shù)；

（3）若a、b、c成等比數(shù)列，且a²－c²=ac－bc，求∠A的大小及的值.

解：（1）∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°.

又∵c²＝a²＋b²－2abcosC，

當(dāng)∠C＝60°時(shí)，c²＝a²＋b²－ab，c＝；

當(dāng)∠C＝120°時(shí)，c²＝a²＋b²＋ab，c＝.

∴ c的長度為或.

（2）由S=，得absinC=. ∴ tanC=1，得C=.

（3）∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac.

又a²－c²=ac－bc，∴b²+c²－a²=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

cosA===，∴∠A=60°.

在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.

∴ bcsinA=b²sinB， 則=sinA=.

點(diǎn)評：解三角形時(shí)，需認(rèn)真分析題中已知條件中邊與角之間的關(guān)系，根據(jù)條件合理選用正弦定理或余弦定理，結(jié)合三角形的面積公式來解決問題.

四、綜合面積公式，探討數(shù)學(xué)領(lǐng)域

例4 已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長AB=2，BC=6，CD=DA=4. 求四邊形ABCD的面積.

解：如圖，連結(jié)BD，則四邊形面積

S＝S_△ABD＋S_△CBD＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC

∵ A＋C＝180°， ∴sinA＝sinC，

∴ S＝（AB·AD＋BC·CD）·sinA＝16sinA.

在△ABD中，由余弦定理得BD²＝2²＋4²－2·2·4cosA＝20－16cosA.

在△CDB中，BD²＝52－48cosC， ∴20－16cosA＝52－48cosC.

又cosC＝－cosA，∴cosA＝－， ∴A＝120°，得S＝16sinA＝8.

點(diǎn)評：在印度婆羅摩笈多（約593-665后）的書中，出現(xiàn)了有圓內(nèi)接四邊形的求積公式（其中a,b,c,d為四邊形的四條邊，p為四邊形的周長之半）. 當(dāng)d=0時(shí)，這個(gè)公式即為海倫公式. 推廣到任意四邊形，則得到婆羅摩笈多公式.

三角形的面積公式有許多，例如已知三角形的三邊a、b、c及外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r，則有S△=abc/4R與.

又如，在△ABC中，若=()，= ()，則△ABC的面積為S=. 此三角形面積的向量公式可如下證明.

證明：

由上例公式，不必求三角形的邊長和角度，只要知道任意兩邊所對應(yīng)的向量即可，而其向量在已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)不難求得. 由此，我們知道三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以得到如下面積公式.

， ，則

      ＝ .

以上我們探討了各面積公式之間的相互聯(lián)系，靈活運(yùn)用三角形的面積公式，能幫助我們解決許多解三角形的問題.