小學(xué)數(shù)學(xué)解題常見錯(cuò)誤分析—幾何初步知識(shí)

　　幾何初步知識(shí)

　　幾何初步知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，由于小孩子掌握的知識(shí)有限、年齡小和空間想象能力差，要理解和掌握有關(guān)的概念和公式，都存在著一定的困難，雖說(shuō)小學(xué)教材所涉及的幾何知識(shí)都是些較基礎(chǔ)的，圖形又比較直觀，但它的內(nèi)容相當(dāng)豐富，且貫穿在小學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)階段，這對(duì)發(fā)展孩子的空間觀念具有十分重要的意義。幾何形體的變化多種多樣，又有周長(zhǎng)、面積、體積、容積等方面的，因此不僅概念易于混淆，而且公式難于理解和記憶。致使在有關(guān)幾何知識(shí)題目的解答中，經(jīng)常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，探討這些錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因及預(yù)防的辦法則是本章所要研究的內(nèi)容。

　　1．直線和線段

　　直線和線段是幾何中較基本的概念。直線我們是不定義的，主要是通過(guò)日常生活中常見的事物作了一些描述性的說(shuō)明。由于很多孩子并沒(méi)有真正理解和掌握，運(yùn)用起來(lái)常常出錯(cuò)。

　　例 1 判斷：直線比射線要長(zhǎng)些。（  ）

　　[解]×

　　[常見錯(cuò)誤]

　　√

　　[分析]

　　教科書對(duì)直線與射線是這樣描述的：直線沒(méi)有端點(diǎn)，射線有一個(gè)端點(diǎn)。孩子從這點(diǎn)出發(fā)，總認(rèn)為直線比射線長(zhǎng)些。其實(shí)，直線可向兩端無(wú)限延伸，它是不能度量出長(zhǎng)短的；射線雖然只能向一端無(wú)限延伸，但它也是不能度量出長(zhǎng)短的。兩者都不可能度量出長(zhǎng)短，自然就不能進(jìn)行比較。因此說(shuō)，“直線比射線長(zhǎng)些”這句話是錯(cuò)誤的。孩子只要明白了以上的道理，也就可以防止類似的錯(cuò)誤發(fā)生。

　　例 2 在一條直線上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)（如圖），那么這條直線上有（    ）條線段，（    ）條射線。

　　[解]3條線段，6條射線。

　　[常見錯(cuò)誤]

　　2條線段，3條射線。

　　[分析]

　　這是一道富有思考性的題，首先要明確線段和射線的定義；其次要善于觀察。除了線段AB和BC外，還有線段AC，因此應(yīng)該是3條線段而不是2條線段。從每一個(gè)點(diǎn)向兩方都引出兩條射線，三個(gè)點(diǎn)共可引出6條射線，而不是3條射線。

　　直線和線段看來(lái)很簡(jiǎn)單，但要理解卻不容易，如對(duì)“直線是無(wú)限長(zhǎng)的”理解，必須有一定的空間想象力，因?yàn)槲覀兯�能見到的和所能畫出的都只是直線上的一段。這些概念建立不好，將會(huì)影響后面許多知識(shí)的學(xué)習(xí)。

　　2．平行和垂直

　　平行與垂直發(fā)生錯(cuò)誤的原因主要是對(duì)平行定義中“同一平面內(nèi)”難以理解。因此，答題時(shí)把“在同一平面內(nèi)”忽略，從而產(chǎn)生各種錯(cuò)誤。

　　例 1 判斷：不相交的兩條直線叫做平行線。（    ）

　　[解]×

　　[常見錯(cuò)誤]

　　√

　　[分析]

　　兩條直線如果不在同一平面里，就有既不相交又不平行的現(xiàn)象存在。因此，這道題缺少了“在同一平面內(nèi)”這個(gè)非常重要的條件，應(yīng)該判錯(cuò)。防止出錯(cuò)的辦法是可以在兩張紙（代表兩個(gè)平面）上，各畫上一條直線，然后將這兩張紙（兩個(gè)平面）擺成不同的位置，觀察兩條直線相交不相交。這樣，就可以加深理解“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”的含義。

　　例 2 判斷：兩條直線相交，有一個(gè)角是直角，這兩條直線互相垂直。

　�。�    ）

　　[解]√

　　[常見錯(cuò)誤]

　　×

　　[分析]

　　學(xué)習(xí)兩條直線互相垂直的概念時(shí)，孩子認(rèn)為要“四個(gè)角都是直角”這個(gè)條件，兩條直線才能互相垂直。題中兩條直線相交，已經(jīng)有一個(gè)是直角，其他三個(gè)角一定是直角。判斷時(shí)沒(méi)有進(jìn)一步分析，因此產(chǎn)生了錯(cuò)誤。

　　3．角

　　角是由一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形，很多孩子對(duì)于角的認(rèn)識(shí)，往往不從定義上來(lái)理解，習(xí)慣從角的邊的長(zhǎng)短來(lái)確定角的大小。對(duì)于直角、銳角、鈍角、平角、周角在認(rèn)識(shí)上也常常出錯(cuò)，例如對(duì)鈍角的認(rèn)識(shí)，有時(shí)只強(qiáng)調(diào)大于90°，有時(shí)又只強(qiáng)調(diào)小于180°，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

　　比較下面兩個(gè)角的大小。

　　[解] 第（1）個(gè)角比第（2）個(gè)角小。

　　[常見錯(cuò)誤]

　　第（1）個(gè)角比第（2）個(gè)角大。

　　[分析]

　　在比較角的大小時(shí)，有的孩子往往用比較物體大小的方法，因而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。這種錯(cuò)誤是經(jīng)常出現(xiàn)的，例如有的孩子認(rèn)為黑板面上的直角比三角板面上的直角大；在地面上畫出的30°的角比在紙上畫出的30°的角大等等。出現(xiàn)這類錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)角的定義沒(méi)有理解，或是度量角的大小的標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有掌握。角的兩邊既然是射線就可以向另一端無(wú)限延長(zhǎng)。因此，角的大小同角的邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系，而是看兩條邊張開的程度。理解了這一點(diǎn)，自然就不會(huì)犯類似的錯(cuò)誤了。

　　例 2 一個(gè)直角與一個(gè)平角的和比一個(gè)周角小（    ）度。

　　[解]一個(gè)周角是360°，一個(gè)平角是180°，一個(gè)直角是90°。所以，一個(gè)直角與一個(gè)平角的和比一個(gè)周角小90°。

　　[常見錯(cuò)誤]

　　270°。

　　[分析]

　　出現(xiàn)這種錯(cuò)誤主要是將題意理解錯(cuò)了，誤認(rèn)為題中是求一個(gè)直角與一個(gè)

　　平角的和，從而得出270°的結(jié)論。

　　例 3 判斷：小于180°的角叫做鈍角。（    ）

　　[解]×

　　[常見錯(cuò)誤]

　　√

　　[分析]

　　鈍角是大于90°而小于180°的角。如果只有小于180°這個(gè)條件，就不能說(shuō)是鈍角了。例如60°，80°，89°的角，都是小于180°的角，它們都不是鈍角。

　　4．長(zhǎng)方形和正方形

　　長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)和面積的發(fā)生錯(cuò)誤的原因是多方面的，有的是因?yàn)閷?duì)長(zhǎng)方形和正方形的特征認(rèn)識(shí)不清；有的是因?yàn)閷?duì)周長(zhǎng)與面積概念的混淆；有的是因?yàn)橹荛L(zhǎng)或面積的公式?jīng)]有掌握；有的是對(duì)周長(zhǎng)或面積的單位使用上出錯(cuò)。這些問(wèn)題都是不可忽視的。

　　例1有兩個(gè)形狀和大小都一樣的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)都是12厘米，寬都是6厘米。把它們拼成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少厘米？

　　[解]

　　12×4=48（厘米）

　　答：這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是48厘米。

　　[常見錯(cuò)誤]

　�。�12+6）×2×2

　　=18×2×2

　　=36×2

　　=72（厘米）。

　　[分析]

　　兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形拼成正方形后，求正方形的周長(zhǎng)，而不是求兩個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的和，解題時(shí)由于對(duì)這一點(diǎn)沒(méi)有正確理解，因此出錯(cuò)。

　　例 2 有一個(gè)周長(zhǎng)是32厘米的長(zhǎng)方形，它是由3個(gè)大小完全相等的正方形拼成的，其中一個(gè)小正方形的面積是（    ）。

　　[解]由3個(gè)大小完全相等的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比應(yīng)是3∶1。這樣，已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)及長(zhǎng)與寬的比，可以求出長(zhǎng)與寬；進(jìn)而求出長(zhǎng)方形的面積及正方形的面積。

　　[分析]

　　錯(cuò)解中雖說(shuō)解題思路是對(duì)的，先求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，再求出長(zhǎng)方形的積，較后求出正方形的面積，但在求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬時(shí)，忽視了長(zhǎng)方形的長(zhǎng)含有兩個(gè)長(zhǎng)與兩個(gè)寬，因而產(chǎn)生了錯(cuò)誤。如下圖：AB的長(zhǎng)是BC長(zhǎng)的3，而 AB加BC的長(zhǎng)只有32厘米的一半，所以，AB是12厘米，BC是4厘米。

　　例 3 小明把2.8米的鐵絲，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的比是4∶3，這個(gè)長(zhǎng)方形圍成的面積是多少平方米？

　　[解] 此題與例2一樣，先求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，再求出長(zhǎng)方形的面積。

　　從圖中可以看出，AB∶BC=4∶3，AB加BC的長(zhǎng)度只有這個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的一半，也就是2.8米的一半，即1.4米。而錯(cuò)解中犯了與例2同樣的錯(cuò)誤，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。

　　例 4 判斷：邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，它的周長(zhǎng)與面積相等。（    ）

　　[解]×

　　[常見錯(cuò)誤]

　　√

　　[分析]

　　邊長(zhǎng)是4厘米的正方形，它的周長(zhǎng)與面積的結(jié)果，數(shù)值雖說(shuō)都是16，但不能說(shuō)它們是相等的，因?yàn)橹荛L(zhǎng)是用長(zhǎng)度單位，結(jié)果是16厘米，面積是用面積單位，結(jié)果是16平方厘米。兩者是無(wú)法比較的，正如5只貓與5公頃土地?zé)o法比較一樣。

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