小學(xué)數(shù)學(xué)解題常見錯誤分析—幾何初步知識

　　幾何初步知識

　　幾何初步知識是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，由于小孩子掌握的知識有限、年齡小和空間想象能力差，要理解和掌握有關(guān)的概念和公式，都存在著一定的困難，雖說小學(xué)教材所涉及的幾何知識都是些較基礎(chǔ)的，圖形又比較直觀，但它的內(nèi)容相當(dāng)豐富，且貫穿在小學(xué)的整個學(xué)習(xí)階段，這對發(fā)展孩子的空間觀念具有十分重要的意義。幾何形體的變化多種多樣，又有周長、面積、體積、容積等方面的，因此不僅概念易于混淆，而且公式難于理解和記憶。致使在有關(guān)幾何知識題目的解答中，經(jīng)常出現(xiàn)一些錯誤，探討這些錯誤產(chǎn)生的原因及預(yù)防的辦法則是本章所要研究的內(nèi)容。

　　1．直線和線段

　　直線和線段是幾何中較基本的概念。直線我們是不定義的，主要是通過日常生活中常見的事物作了一些描述性的說明。由于很多孩子并沒有真正理解和掌握，運用起來常常出錯。

　　例 1 判斷：直線比射線要長些。（  ）

　　[解]×

　　[常見錯誤]

　　√

　　[分析]

　　教科書對直線與射線是這樣描述的：直線沒有端點，射線有一個端點。孩子從這點出發(fā)，總認(rèn)為直線比射線長些。其實，直線可向兩端無限延伸，它是不能度量出長短的；射線雖然只能向一端無限延伸，但它也是不能度量出長短的。兩者都不可能度量出長短，自然就不能進(jìn)行比較。因此說，“直線比射線長些”這句話是錯誤的。孩子只要明白了以上的道理，也就可以防止類似的錯誤發(fā)生。

　　例 2 在一條直線上有A、B、C三個點（如圖），那么這條直線上有（    ）條線段，（    ）條射線。

　　[解]3條線段，6條射線。

　　[常見錯誤]

　　2條線段，3條射線。

　　[分析]

　　這是一道富有思考性的題，首先要明確線段和射線的定義；其次要善于觀察。除了線段AB和BC外，還有線段AC，因此應(yīng)該是3條線段而不是2條線段。從每一個點向兩方都引出兩條射線，三個點共可引出6條射線，而不是3條射線。

　　直線和線段看來很簡單，但要理解卻不容易，如對“直線是無限長的”理解，必須有一定的空間想象力，因為我們所能見到的和所能畫出的都只是直線上的一段。這些概念建立不好，將會影響后面許多知識的學(xué)習(xí)。

　　2．平行和垂直

　　平行與垂直發(fā)生錯誤的原因主要是對平行定義中“同一平面內(nèi)”難以理解。因此，答題時把“在同一平面內(nèi)”忽略，從而產(chǎn)生各種錯誤。

　　例 1 判斷：不相交的兩條直線叫做平行線。（    ）

　　[解]×

　　[常見錯誤]

　　√

　　[分析]

　　兩條直線如果不在同一平面里，就有既不相交又不平行的現(xiàn)象存在。因此，這道題缺少了“在同一平面內(nèi)”這個非常重要的條件，應(yīng)該判錯。防止出錯的辦法是可以在兩張紙（代表兩個平面）上，各畫上一條直線，然后將這兩張紙（兩個平面）擺成不同的位置，觀察兩條直線相交不相交。這樣，就可以加深理解“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”的含義。

　　例 2 判斷：兩條直線相交，有一個角是直角，這兩條直線互相垂直。

　�。�    ）

　　[解]√

　　[常見錯誤]

　　×

　　[分析]

　　學(xué)習(xí)兩條直線互相垂直的概念時，孩子認(rèn)為要“四個角都是直角”這個條件，兩條直線才能互相垂直。題中兩條直線相交，已經(jīng)有一個是直角，其他三個角一定是直角。判斷時沒有進(jìn)一步分析，因此產(chǎn)生了錯誤。

　　3．角

　　角是由一點引出兩條射線所組成的圖形，很多孩子對于角的認(rèn)識，往往不從定義上來理解，習(xí)慣從角的邊的長短來確定角的大小。對于直角、銳角、鈍角、平角、周角在認(rèn)識上也常常出錯，例如對鈍角的認(rèn)識，有時只強調(diào)大于90°，有時又只強調(diào)小于180°，從而出現(xiàn)錯誤。

　　比較下面兩個角的大小。

　　[解] 第（1）個角比第（2）個角小。

　　[常見錯誤]

　　第（1）個角比第（2）個角大。

　　[分析]

　　在比較角的大小時，有的孩子往往用比較物體大小的方法，因而得出錯誤的結(jié)論。這種錯誤是經(jīng)常出現(xiàn)的，例如有的孩子認(rèn)為黑板面上的直角比三角板面上的直角大；在地面上畫出的30°的角比在紙上畫出的30°的角大等等。出現(xiàn)這類錯誤的主要原因是對角的定義沒有理解，或是度量角的大小的標(biāo)準(zhǔn)沒有掌握。角的兩邊既然是射線就可以向另一端無限延長。因此，角的大小同角的邊的長短沒有關(guān)系，而是看兩條邊張開的程度。理解了這一點，自然就不會犯類似的錯誤了。

　　例 2 一個直角與一個平角的和比一個周角小（    ）度。

　　[解]一個周角是360°，一個平角是180°，一個直角是90°。所以，一個直角與一個平角的和比一個周角小90°。

　　[常見錯誤]

　　270°。

　　[分析]

　　出現(xiàn)這種錯誤主要是將題意理解錯了，誤認(rèn)為題中是求一個直角與一個

　　平角的和，從而得出270°的結(jié)論。

　　例 3 判斷：小于180°的角叫做鈍角。（    ）

　　[解]×

　　[常見錯誤]

　　√

　　[分析]

　　鈍角是大于90°而小于180°的角。如果只有小于180°這個條件，就不能說是鈍角了。例如60°，80°，89°的角，都是小于180°的角，它們都不是鈍角。

　　4．長方形和正方形

　　長方形和正方形周長和面積的發(fā)生錯誤的原因是多方面的，有的是因為對長方形和正方形的特征認(rèn)識不清；有的是因為對周長與面積概念的混淆；有的是因為周長或面積的公式?jīng)]有掌握；有的是對周長或面積的單位使用上出錯。這些問題都是不可忽視的。

　　例1有兩個形狀和大小都一樣的長方形，長都是12厘米，寬都是6厘米。把它們拼成一個正方形，這個正方形的周長是多少厘米？

　　[解]

　　12×4=48（厘米）

　　答：這個正方形的周長是48厘米。

　　[常見錯誤]

　　（12+6）×2×2

　　=18×2×2

　　=36×2

　　=72（厘米）。

　　[分析]

　　兩個相同的長方形拼成正方形后，求正方形的周長，而不是求兩個長方形周長的和，解題時由于對這一點沒有正確理解，因此出錯。

　　例 2 有一個周長是32厘米的長方形，它是由3個大小完全相等的正方形拼成的，其中一個小正方形的面積是（    ）。

　　[解]由3個大小完全相等的正方形拼成一個長方形，這個長方形的長與寬的比應(yīng)是3∶1。這樣，已知長方形的周長及長與寬的比，可以求出長與寬；進(jìn)而求出長方形的面積及正方形的面積。

　　[分析]

　　錯解中雖說解題思路是對的，先求出長方形的長與寬，再求出長方形的積，較后求出正方形的面積，但在求長方形的長與寬時，忽視了長方形的長含有兩個長與兩個寬，因而產(chǎn)生了錯誤。如下圖：AB的長是BC長的3，而 AB加BC的長只有32厘米的一半，所以，AB是12厘米，BC是4厘米。

　　例 3 小明把2.8米的鐵絲，圍成一個長方形，長方形長和寬的比是4∶3，這個長方形圍成的面積是多少平方米？

　　[解] 此題與例2一樣，先求出長方形的長與寬，再求出長方形的面積。

　　從圖中可以看出，AB∶BC=4∶3，AB加BC的長度只有這個長方形周長的一半，也就是2.8米的一半，即1.4米。而錯解中犯了與例2同樣的錯誤，導(dǎo)致答案錯誤。

　　例 4 判斷：邊長為4厘米的正方形，它的周長與面積相等。（    ）

　　[解]×

　　[常見錯誤]

　　√

　　[分析]

　　邊長是4厘米的正方形，它的周長與面積的結(jié)果，數(shù)值雖說都是16，但不能說它們是相等的，因為周長是用長度單位，結(jié)果是16厘米，面積是用面積單位，結(jié)果是16平方厘米。兩者是無法比較的，正如5只貓與5公頃土地?zé)o法比較一樣。

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