趣味學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)：魔方動(dòng)作解密

2010-02-22 09:58:20 　來(lái)源：智康教育文章作者：劉姝玲

　　作者：北大校區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)老師劉姝玲　

　　現(xiàn)在中小學(xué)較流行的動(dòng)腦游戲要算是魔方了，現(xiàn)在魔方的玩法也是多種多樣，很多孩子想學(xué)，那么我們一起來(lái)開(kāi)動(dòng)腦筋吧

　　魔方有多少種可以達(dá)到的狀態(tài)？答案是 43252003274486000 約 4000 億億。

　　算法： 8 個(gè)角方塊排列在 8 個(gè)位置， 12 個(gè)棱方塊排列在 12 個(gè)位置，共有 8！ × 12 ！種。又每個(gè)棱方塊有 2 個(gè)朝向，每個(gè)角方塊有 3 個(gè)朝向，共 3^8 × 2^12 種。因此魔方的狀態(tài)數(shù)是 8！ × 12 ！× 3^8 × 2^12 = 519024039293878272000 種，51902億億以上。

　　但在 20 個(gè)方塊中， 18 個(gè)位置確定，另外 2 個(gè)位置也就確定了。因此要去掉因子 2 ！。在 8 個(gè)角方塊中， 7 個(gè)朝向確定，第 8 個(gè)朝向也就確定了；在 12 個(gè)棱方塊中， 11 個(gè)朝向確定，第 12 個(gè)朝向也就確定了。這樣要再去掉 3 × 2 因子，實(shí)際是上面數(shù)的 1/12 ，即總數(shù) 8！ × 12 ！× 3^7 × 2^11/2=43252003274486000 .

　　從另一個(gè)角度考慮上面的除數(shù) 12 .如果我們確定了 6 種顏色，每種顏色涂在魔方的1 個(gè)表面上的9個(gè)小方塊上。然后然后我們拆開(kāi)魔方，再打亂了重新拼裝起來(lái)，那么并不是所得到的每個(gè)魔方都能還原為初始狀態(tài)。具體說(shuō)，有519024039293878272000 種拼法，可以分為 12 類(lèi)，每類(lèi) 43252003274486000 種。同類(lèi)里任何兩個(gè)狀態(tài)可以相互轉(zhuǎn)換，而不同類(lèi)間不能轉(zhuǎn)換。

　　魔方動(dòng)作的群論表示舉例

　　面對(duì)右面(r面)，看到右面一層如下左圖，轉(zhuǎn)動(dòng)Y3后如右圖，就可得出各塊的變動(dòng)。

　　類(lèi)似分析Z3，

　　二者復(fù)合為

　　其中對(duì)角方塊，右上角的正號(hào)表示此塊順時(shí)針轉(zhuǎn)2π/3 ，負(fù)號(hào)表示反時(shí)針轉(zhuǎn)。對(duì)棱方塊表示有一個(gè)方向的翻轉(zhuǎn)。上面分析說(shuō)明，經(jīng)過(guò)Y3，Z3兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，上右前角塊回到原地，但順時(shí)針轉(zhuǎn)了2π/3 ，還有5個(gè)角方塊做了一個(gè)輪換，各反時(shí)針轉(zhuǎn)了2π/3 ，或說(shuō)順時(shí)針轉(zhuǎn)了4π/3 ，7個(gè)棱方塊做了一個(gè)輪換。

　　這樣，可以看出，

　　(1) 如果把動(dòng)作Y3*Z3連續(xù)做3次，那么上右前角方塊會(huì)回到原來(lái)位置，且轉(zhuǎn)了6π/3，即沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)。

　　(2) 如果把動(dòng)作Y3*Z3連續(xù)做5次，那5個(gè)角方塊都會(huì)回到原來(lái)位置，但都轉(zhuǎn)了10π/3，或4π/3，即反時(shí)針轉(zhuǎn)2π/3 .

　　(3) 如果把動(dòng)作Y3*Z3連續(xù)做7次，那7個(gè)棱方塊都會(huì)回到原來(lái)位置，且沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)。

　　我們用魔方電腦游戲可以輕易的驗(yàn)證這些結(jié)論。

　　用這種方法，我們只要給出9個(gè)基本動(dòng)作X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3，Z1，Z2，Z3，就可以求出它們的逆動(dòng)作X1'，X2'，X3'，Y1'，Y2'，Y3'，Z1'，Z2'，Z3'，在通過(guò)求出任何若干次動(dòng)作的結(jié)果。我們已經(jīng)不需要具體的魔方，只要由就可以表現(xiàn)魔方的轉(zhuǎn)動(dòng)。

　　反過(guò)來(lái)，如果知道魔方的狀態(tài)，能否找到復(fù)原的方法？也就是把現(xiàn)在狀態(tài)分解為基本動(dòng)作的復(fù)合，這是個(gè)問(wèn)題，相當(dāng)于把一個(gè)矩陣分解為某些特定矩陣的積。如果能解決這個(gè)問(wèn)題并很快給出答案，就完全解決了魔方的復(fù)原問(wèn)題。

　　解決魔方的記錄

　　利用群論可以給出魔方解法。理論上，解決魔方的步數(shù)可能較多只需要22 或23步。實(shí)際上，英國(guó)一位魔方大師利用群論求出的解法較多只要52 步。100 步以下就是很好的解法。一般人玩，恢復(fù)魔方需要數(shù)百步。

　　2005 年2 月2 日的世界魔方比賽中，Shotaro Makisnmi(日本)奪得，成績(jī)13.27 秒；Leyan Lo(美國(guó)) 和Frank Morris(美國(guó))并列第二名，時(shí)間同為15 秒；Chun Hei Wong(中國(guó)香港)第四名，18.48 秒。

　　智康教育：優(yōu)秀的N對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)、口碑好的家教品牌，提供小學(xué)數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文、物理、化學(xué)等全科家教輔導(dǎo)，滿(mǎn)足小學(xué)、小學(xué)、初中、中考、高中、高考等各類(lèi)人群課外補(bǔ)習(xí)需求。

你可能感興趣的文章

立即領(lǐng)取中小學(xué)熱門(mén)學(xué)習(xí)資料

*我們?cè)?4小時(shí)內(nèi)與您取得電話(huà)聯(lián)系

學(xué)而思1對(duì)1資訊站

課程咨詢(xún): 400-810-2680

趣味學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)：魔方動(dòng)作解密

高中資訊學(xué)習(xí)寶庫(kù)