2016小學(xué)數(shù)學(xué)常用的11種解題思路(5)

 

 

八、類比思路

類比就是從一個(gè)問題想到了相似的另一個(gè)問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長(zhǎng)方體體積公式等等；類比是一個(gè)重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。類比就是從一個(gè)問題想到了相似的另一個(gè)問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長(zhǎng)方體體積公式等等；類比是一個(gè)重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。

 

 

 

例1 有一個(gè)掛鐘，每小時(shí)敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？

 

分析（用類比思路探討）：

 

有人會(huì)盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認(rèn)為10秒鐘敲完，那就完全錯(cuò)了。其實(shí)此題只要運(yùn)用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距），如果不包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植（n-1）棵樹，如果包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植樹（n＋1）棵，把鐘點(diǎn)指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時(shí)間看作棵距，此題就迎刃而解了。

 

例2 從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針正好與分鐘重合。

 

分析（用類比思路討論）：

 

本題可以與行程問題進(jìn)行類比。如圖2.11，如果用時(shí)針1小時(shí)所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時(shí)針相距4格，分

 

如果分針與時(shí)針同時(shí)同向出發(fā)，問：分針過多少分鐘可追上時(shí)針？這樣就與行程問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時(shí)間，就是追上的時(shí)間。

 

 

 

九、分類思路

 

 

 

 

 

把一個(gè)復(fù)雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個(gè)較簡(jiǎn)單的問題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個(gè)數(shù)問題中經(jīng)常用到。

 

 

 

 

 

例1 如圖2.12，共有多少個(gè)三角形？

 

分析（用分類思路考慮）：

 

這樣的圖直接去數(shù)有多少個(gè)三角形，要做到能不重復(fù)，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）。

 

例2 如圖2.14，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著較短的路走到對(duì)方“將”處，這小卒有多少種不同的走法？

 

分析（運(yùn)用分類思路分析）：

 

小卒過河后，首先到達(dá)A點(diǎn)，因此，題目實(shí)際上是問：從A點(diǎn)出發(fā)，沿較短路徑有多少種走法可以到達(dá)“將”處，所謂較短，是指不走回頭路。

 

因?yàn)?ldquo;將”直接相通的是P點(diǎn)和K點(diǎn)，所以要求從A點(diǎn)到“將”處有多少種走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。

 

 

分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。

 

二種走法：從A到H有兩種走法。

 

三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。

 

其他各類的走法：因?yàn)閺腁到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有3＋3＝6種走法了，因?yàn)閺腁到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有3＋1=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。

 

再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易了。

 

 

 

 

 

十、等量代換思路

 

 

 

 

 

 

 

 

 

有些題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知條件相等的關(guān)系，使未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，促使問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。

 

 

 

 

 

例1 如圖2.15的正方形邊長(zhǎng)是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長(zhǎng)多少厘米？

 

分析（用等量代換思路思考）：

 

按一般思路，要求CE的長(zhǎng)，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個(gè)條件都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長(zhǎng)，怎樣求這個(gè)三角形的面積呢？設(shè)梯形為丙：

 

已知乙=甲+6

丙+甲=6×6=36

用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42

 

即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求CE的長(zhǎng)就簡(jiǎn)單了。

 

例2 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。先進(jìn)這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？

 

分析（用等量代換的思路來探討）：

 

這道題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，如果我們把先進(jìn)堆里的黑子和第二堆的白子對(duì)換一下，那么這個(gè)問題就簡(jiǎn)單多了。出現(xiàn)了下面這個(gè)等式。

 

先進(jìn)堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子）（這里指的棋子數(shù)）份，則第二堆（全部黑子）為3份，這樣就出現(xiàn)了每堆棋子為3份，3堆棋子的總份數(shù)自然就出來了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。先進(jìn)堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出。較后去解決白子占全部棋子的幾分之幾就非常容易了。

 

 

 

 

 

十一、對(duì)應(yīng)思路

 

 

 

 

 

“分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)是一個(gè)數(shù)量對(duì)應(yīng)著一個(gè)分率，也就是一個(gè)數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，這種關(guān)系叫做對(duì)應(yīng)關(guān)系。找對(duì)應(yīng)關(guān)系的思路，我們把它叫做對(duì)應(yīng)思路。

 

 

例1 有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是91公畝，麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公畝，那么，菜地是幾公畝？

 

分析（用對(duì)應(yīng)思路分析）：

 

這是一道復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，我們不妨用對(duì)應(yīng)思路去思索。如能找出91公畝、84公畝的對(duì)應(yīng)分率，此題就比較容易解決了。但題中有對(duì)應(yīng)分率兩個(gè)，究竟相當(dāng)于總公畝數(shù)的幾分之幾呢？這是解題的關(guān)鍵。而我們一時(shí)還弄不清楚，現(xiàn)將條件排列起來尋找。

 

求出總公畝數(shù)后，我們?nèi)晕凑业讲说鼗螓湹卣伎偣€數(shù)的幾分之幾，故還不能直接求出菜地或麥地的公畝數(shù)。但我們把條件稍作組合，就可以求出

 

分析到這一步，那么再去求菜地有多少公畝，則就變成了一道很簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題了。

 

例2 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)，要排完一池水，單開乙管

順序，循環(huán)各開水管，每次每管開一小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？

 

分析（用對(duì)應(yīng)思路考慮）：

 

本題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，但仍屬分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，所以仍可用對(duì)應(yīng)思路尋找解題途徑。

 

首先要找出甲、丙兩管每小時(shí)灌水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，乙、丁兩管每小時(shí)排水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，然后才能。

 

通過轉(zhuǎn)化找到了對(duì)應(yīng)分率就容易了。假設(shè)甲、乙、丙、丁四個(gè)水管按順序各開1小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的：　　

也就是20小時(shí)以后，池內(nèi)有水

總共是多少時(shí)間后水開始溢出水池不就一目了然了嗎？

 

 

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