歐拉公式證明

2018-07-25 23:22:31 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　歐拉公式證明！在任何一個(gè)規(guī)則球面地圖上，用 R記區(qū)域個(gè) 數(shù) ，V記頂點(diǎn)個(gè)數(shù) ，E記邊界個(gè)數(shù) ，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理，它于 1640年由 Descartes首先給出證明，后來 Euler(歐拉 )于 1752年又獨(dú)立地給出證明，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為 Descartes定理。下面為大家分享歐拉公式證明!希望能幫到大家！

用數(shù)學(xué)歸納法證明

( 1)當(dāng) R= 2時(shí) ，由說明 1,這兩個(gè)區(qū)域可想象為以赤道為邊界的兩個(gè)半球面，赤道上有兩個(gè)“頂點(diǎn)” 將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2;于是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。

( 2)設(shè) R= m(m≥ 2)時(shí)歐拉定理成立，下面證明 R= m+ 1時(shí)歐拉定理也成立。

由說明 2，我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個(gè) 區(qū)域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區(qū)域 Y ，使得在去掉 X 和 Y 之間的先進(jìn)一條邊界后，地圖上只有 m 個(gè)區(qū)域了;在去掉 X 和 Y 之間的邊界后，若原該邊界兩端的頂點(diǎn)現(xiàn)在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點(diǎn) ，則該頂點(diǎn)保留，同時(shí)其他的邊界數(shù)不變;若原該邊界一端或兩端的頂點(diǎn)現(xiàn)在成為 2條邊界的頂點(diǎn) ，則去掉該頂點(diǎn) ,該頂點(diǎn)兩邊的兩條邊界便成為一條邊界。于是 ,在去掉 X 和 Y之間的先進(jìn)一條邊界時(shí)只有三種情況：

①減少一個(gè)區(qū)域和一條邊界;

②減少一個(gè)區(qū) 域、一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊界;

③減少一個(gè)區(qū)域、兩個(gè)頂點(diǎn)和三條邊界;

即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時(shí) ,不論何種情況都必定有“減少的區(qū)域數(shù) + 減少的頂點(diǎn)數(shù) = 減少的邊界數(shù)”我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊界又照原樣畫上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了，在這一過程中必然是“增加的區(qū)域數(shù) + 增加的頂點(diǎn)數(shù) = 增加的邊界數(shù)”。

因此，若 R= m (m≥2)時(shí)歐拉定理成立，則 R= m+ 1時(shí)歐拉定理也成立.。由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對于任何正整數(shù) R≥2,歐拉定理成立。

柯西的證明

先進(jìn)個(gè)歐拉公式的嚴(yán)格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠(yuǎn)，把所有剩下的面變成點(diǎn)和曲線的平面網(wǎng)絡(luò)。不失一般性，可以假設(shè)變形的邊繼續(xù)保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時(shí)候它們是正常的。但是，點(diǎn)，邊和面的個(gè)數(shù)保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的外部。)

重復(fù)一系列可以簡化網(wǎng)絡(luò)卻不改變其歐拉數(shù)(也是歐拉示性數(shù)) 的額外變換。

1.若有一個(gè)多邊形面有3條邊以上，我們劃一個(gè)對角線。這增加一條邊和一個(gè)面。繼續(xù)增加邊直到所有面都是三角形。

2.除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個(gè)數(shù)各減一而保持頂點(diǎn)數(shù)不變。

3.(逐個(gè))除去所有和網(wǎng)絡(luò)外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊和一個(gè)面。

重復(fù)使用第2步和第3步直到只剩一個(gè)三角形。對于一個(gè)三角形 (把外部數(shù)在內(nèi)) ，。所以。

推理證明設(shè)

想這個(gè)多面體是先有一個(gè)面，然后將其他各面一個(gè)接一個(gè)地添裝上去的.因?yàn)橐还灿蠪個(gè)面，因此要添(F-1)個(gè)面.考

察第Ⅰ個(gè)面，設(shè)它是n邊形，有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊，這時(shí)E=V，即棱數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù).

添上第Ⅱ個(gè)面后，因?yàn)橐粭l棱與原來的棱重合，而且有兩個(gè)頂點(diǎn)和第Ⅰ個(gè)面的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，所以增加的棱數(shù)比增加的頂點(diǎn)數(shù)多1，因此，這時(shí)E=V+1.

以后每增添一個(gè)面，總是增加的棱數(shù)比增加的頂點(diǎn)數(shù)多1，例如

增添兩個(gè)面后，有關(guān)系E=V+2;

增添三個(gè)面后，有關(guān)系E=V+3;……

增添(F-2)個(gè)面后，有關(guān)系E=V+ (F-2).

較后增添一個(gè)面后，就成為多面體，這時(shí)棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)都沒有增加.因此，關(guān)系式仍為E=V+ (F-2).即F+V=E+2.

這個(gè)公式叫做歐拉公式.它表明2這個(gè)數(shù)是簡單多面體表面在連續(xù)變形下不變的數(shù)。

　　導(dǎo)數(shù)的解題方法與技巧-高中數(shù)學(xué)選修2-2先進(jìn)章

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