高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)

2019-01-15 23:03:22 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)！元旦過(guò)后就是緊張的期末診斷了。冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)大家都記熟練了嗎？大家學(xué)習(xí)東西比較多的情況下，要學(xué)會(huì)對(duì)比記憶。愛(ài)智康助力期末診斷，下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)希望對(duì)同學(xué)們有幫助！

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　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)(一)

　　形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

　　定義域和值域:

　　當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

　　如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還

　　必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù)。

　　當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：

　　在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

　　在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)(二)

　　性質(zhì):

　　對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

　　排除了為0這種可能，即對(duì)于x<0和x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

　　排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

　　總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

　　如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù)。

　　在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

　　在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

　　由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在先進(jìn)象限的各自情況.

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。

　　(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

　　(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

　　(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

　　(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。

　　(6)顯然冪函數(shù)無(wú)界。

　　高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之冪函數(shù)(三)

　　概念：形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

　　特性：對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分?jǐn)?shù)(即p、q互質(zhì))，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)下(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)a是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：a小于0時(shí)，x不等于0;q為偶數(shù)時(shí)，x不小于0;q為奇數(shù)時(shí)，x取R。

　　定義域與值域：當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：1.如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);2.如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔? 的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：1.在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。 2.在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

　　先進(jìn)象限的特殊性：(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn).(a≠0) a>0時(shí) 圖象過(guò)點(diǎn)(0，0)和(1，1)(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增為增函數(shù)，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減為減函數(shù)。(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凸(豎拋);當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸(橫拋)。當(dāng)a小于0時(shí)，圖像為雙曲線。(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。(5)顯然冪函數(shù)無(wú)界限。(6)a=2n,該函數(shù)為偶函數(shù) {x|x≠0}。

　　圖象：①當(dāng)a≤-1且a為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在先進(jìn)、第三象限為減函數(shù)②當(dāng)a≤-1且a為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在第二象限為增函數(shù)，先進(jìn)象限為減函數(shù)③當(dāng)a=0且x不為0時(shí)，函數(shù)圖象平行于x軸且y=1、但不過(guò)(0,1) ④當(dāng)0

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