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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之證明函數(shù)單調(diào)性!今年過(guò)年早,大家在迎新年得時(shí)候,還有準(zhǔn)備期末診斷,等考完在好好放松。那么大家復(fù)習(xí)的怎么樣了呢?函數(shù)的單調(diào)性很容易出證明題,證明題是大家的薄弱部分,所以要知道怎么證明,就要掌握方法。愛(ài)智康助力期末診斷,下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之證明函數(shù)單調(diào)性希望對(duì)同學(xué)們有幫助!
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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之證明函數(shù)單調(diào)性(一)
證明函數(shù)f(x)=x2+1在(-∞,0)上是減證明函數(shù)
在定義域(-∞,0)上取x1,x2,使得x1>x2
f(x1)-f(x2)=x12+1-(x22+1)
=x12-x22
=(x1+x2)(x1-x2)
∵x1,x2均在(-∞,0)上
∴x1,x2都小于0
∴x1+x2<0
∵x1>x2
∴x1-x2>0
∴(x1+x2)(x1-x2)<0
f(x1)-f(x2)<0
f(x1)
∴證明函數(shù)f(x)=x2+1在(-∞,0)上是減證明函數(shù)
利用定義證明證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:
、偃我馊≈担杭丛O(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,且x1
、谧鞑钭冃危鹤鞑頵(x1)-f(x2),并因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形
、叟袛喽ㄌ(hào):確定f(x1)-f(x2)的符號(hào)
、艿贸鼋Y(jié)論:根據(jù)定義作出結(jié)論(若差0,則為增證明函數(shù);若差0,則為減證明函數(shù))
即“任意取值——作差變形——判斷定號(hào)——得出結(jié)論”
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之證明函數(shù)單調(diào)性(二)
方法
1. 把握好證明函數(shù)單調(diào)性的定義。證明證明函數(shù)單調(diào)性一般(初學(xué)較好用定義)用定義(謹(jǐn)防循環(huán)論證),如果證明函數(shù)解析式異常復(fù)雜或者具有某種特殊形式,可以采用證明函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式證明。另外還請(qǐng)注意證明函數(shù)單調(diào)性的定義是[充要命題]。
2. 熟練掌握基本初等證明函數(shù)的單調(diào)性及其單調(diào)區(qū)間。理解并掌握判斷復(fù)合證明函數(shù)單調(diào)性的方法:同增異減。
3. 高三選修課本有導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,用導(dǎo)數(shù)求證明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般是非常簡(jiǎn)便的。 還應(yīng)注意證明函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,例如求極值、比較大小,還有和不等式有關(guān)的問(wèn)題。
一般的,求證明函數(shù)單調(diào)性有如下幾個(gè)步驟:
1、取值X1,X2屬于{?},并使X1
2、作差f(x1)-f(x2)
3、變形
4、定號(hào)(判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù))
5、下結(jié)論編輯本段例題
判斷證明函數(shù)的單調(diào)性y = 1/( x^2-2x-3)。 設(shè)x^2-2x-3=t, 令x^2-2x-3=0, 解得:x=3或x=-1, 當(dāng)x>3和x<-1時(shí),t>0, 當(dāng)-10時(shí),x>3時(shí), t是增證明函數(shù),1/t是減證明函數(shù), 所以(3,+∞)是減區(qū)間, 而x<-1時(shí),t是減證明函數(shù), 所以1/t是增證明函數(shù)。 因此(-∞,-1)是增區(qū)間, 當(dāng)x<0時(shí), -1
方法:
1.導(dǎo)數(shù)
2.構(gòu)造基本初等證明函數(shù)(已知單調(diào)性的證明函數(shù))
3.復(fù)合證明函數(shù) 根據(jù)同增異減口訣,先判斷內(nèi)層證明函數(shù)的單調(diào)性,再判斷外層證明函數(shù)單調(diào)性,在同一定義域上,若兩證明函數(shù)單調(diào)性相同,則此復(fù)合證明函數(shù)在此定義域上為增證明函數(shù),反之則為減證明函數(shù)。
4.定義法
5.數(shù)形結(jié)合 復(fù)合證明函數(shù)的單調(diào)性一般是看證明函數(shù)包含的兩個(gè)證明函數(shù)的單調(diào)性 (1)如果兩個(gè)都是增的,那么證明函數(shù)就是增證明函數(shù) (2)一個(gè)是減一個(gè)是增,那就是減證明函數(shù) (3)兩個(gè)都是減,那就是增證明函數(shù)
復(fù)合證明函數(shù)求導(dǎo)公式
F'(g(x)) = [ F(g(x+dx)) - F(g(x)) ] / dx ...... (1) g(x+dx) - g(x) = g'(x)*dx = dg(x) ........ (2) g(x+dx) = g(x) + dg(x) ......... (3) F'(g(x)) = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] /dx = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] / dg(x) * dg(x)/dx = F'(g) * g'(x)
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之證明函數(shù)單調(diào)性(三)
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