2016北京初二期中數(shù)學(xué)試卷

2020-02-17 12:03:35 　來(lái)源：百度文庫(kù)

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2016北京初二期中數(shù)學(xué)試題

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　　初二勾股定理簡(jiǎn)潔證明方法↓↓↓↓↓

　　中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

　　1中國(guó)勾股定理證明方法

　　畫(huà)兩個(gè)邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形，2016北京初二期中數(shù)學(xué)試題如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。

　　有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。從左右中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。右剩下以c為邊的正方形。于是a^2+b^2=c^2。

　　這就是我們幾何教科書(shū)中所介紹的方法。既直觀又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。

　　2歐幾里得證法

　　在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

　　在這個(gè)定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：

　　如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS)

　　三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

　　任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。

　　任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積(據(jù)輔助定理3)。

　　證明的思路為：從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，把上方的兩個(gè)正方形，通過(guò)等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。

　　設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

　　其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

　　畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線，2016北京初二期中數(shù)學(xué)試題分別垂直BC和DE于K、L。

　　分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

　　∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

　　∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

　　因?yàn)锳B=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

　　因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

　　因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

　　因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

　　同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

　　把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

　　由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

　　由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

　　此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書(shū)第1.47節(jié)所提出的。

　　由于這個(gè)定理的證明依賴于平行公理，而且從這個(gè)定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。

　　3青朱出入圖證明方法

　　青朱出入圖，是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)2016北京初二期中數(shù)學(xué)試題“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。

　　劉徽描述此圖，“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類(lèi)，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪。開(kāi)方除之，即弦也。”其大意為，一個(gè)任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長(zhǎng)作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個(gè)正方形對(duì)齊底邊排列，再以盈補(bǔ)虛，分割線內(nèi)不動(dòng)，線外則“各從其類(lèi)”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開(kāi)方即為弦長(zhǎng)。

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