高中圓的思維導(dǎo)圖!北京高考數(shù)學(xué)加油站

2020-04-30 12:09:21 　來源：網(wǎng)絡(luò)整理

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　　(一)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　1.圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓.定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑.

　　2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：已知圓心為(a，b)，半徑為r，則圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

　　說明：

　　(1)上式稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　(2)如果圓心在坐標(biāo)原點，這時a=0，b=0，圓的方程就是x2+y2=r2.

　　(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程顯示了圓心為(a，b)，半徑為r這一幾何性質(zhì)，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圓心為(a，b)，半徑為r.

　　(4)確定圓的條件

　　由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知有三個參數(shù)a、b、r，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定.因此，確定圓的方程，需三個獨立的條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定型條件.

　　(5)點與圓的位置關(guān)系的判定

　　若點M(x1，y1)在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2>r2;

　　若點M(x1，y1)在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2

　　(二)圓的一般方程

　　任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：

　　x2+y2+Dx+Ey+F=0①

　　將①配方得：

　�、�(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4

　　當(dāng)時，方程①表示以(-D/2，-E/2)為圓心，以為半徑的圓;

　　當(dāng)時，方程①只有實數(shù)解，所以表示一個點(-D/2，-E/2);

　　當(dāng)時，方程①沒有實數(shù)解，因此它不表示任何圖形.

　　故當(dāng)時，方程①表示一個圓，方程①叫做圓的一般方程.

　　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：

　　(1)和的系數(shù)相同，且不等于0;

　　(2)沒有xy這樣的二次項.

　　以上兩點是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件.

　　要求出圓的一般方程，只要求出三個系數(shù)D、E、F就可以了.

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　　(三)直線和圓的位置關(guān)系

　　1.直線與圓的位置關(guān)系

　　研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：

　　(l)幾何法：令圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r.

　　d>r直線與圓相離;d=r直線與圓相切;0≤d

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