2021上海高一月考數(shù)學(xué)測(cè)試：二次根式

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　1.二次根式的定義：一般地，形如√a的代數(shù)式叫做二次根式，其中，a 叫做被開方數(shù)。當(dāng)a≥0時(shí)，√a表示a的算術(shù)平方根;當(dāng)a小于0時(shí)，√a的值為純虛數(shù)(在一元二次方程求根公式中，若根號(hào)下為負(fù)數(shù)，則方程有兩個(gè)共軛虛根)。

　　2.二次根式的性質(zhì)：

　�、�.任何一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù).如正數(shù)a的算術(shù)平方根是x,則a的另一個(gè)平方根為﹣x;

　�、�.零的平方根是零;

　�、�.負(fù)數(shù)沒有平方根;

　�、�.有理化根式：如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式,那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化根式,也稱互為有理化因式;

　　⑤.無理數(shù)可用有理數(shù)形式表示。

　　3.二次根式的運(yùn)算

　　二次根式的運(yùn)算主要是研究二次根式的乘除和加減。

　　1)二次根式的加減運(yùn)算：

　　先把式子中各項(xiàng)二次根式化成較簡(jiǎn)二次根式,再參照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算,去括號(hào)與合并同類二次根式.

　　2)二次根式的乘法：

　　(1)法則：根a ·根b =根ab (a≥0且b≥0)

　　(2)類型：

　　(i)單項(xiàng)二次根式乘以單項(xiàng)二次根式;

　　(ii)單項(xiàng)二次根式乘以多項(xiàng)二次根式;

　　(iii)多項(xiàng)二次根式乘以多項(xiàng)二次根式

　　在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí),有時(shí)可以應(yīng)用乘法公式,使簡(jiǎn)便.

　　3)二次根式的除法：

　　(1)法則：根a/根b =根a/b (a≥0且b>0)

　　(2)類型：

　　(i)單項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式(應(yīng)用運(yùn)算法則)

　　(ii)多項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式(轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)二次根式除以單項(xiàng)二次根式)

　　(iii)除數(shù)是二個(gè)二次根式的和或是一個(gè)二次根式與一個(gè)有理數(shù)的和(把分母有理化進(jìn)行運(yùn)算,或與分式的運(yùn)算類比思考,約去分子,分母中的公因式).

　　4)二次根式的混合運(yùn)算：

　　先乘方(或開方)，再乘除，較后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的;能利用運(yùn)算律或乘法公式進(jìn)行運(yùn)算的，可適當(dāng)改變運(yùn)算順序進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算.

　　注意：進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，要正確運(yùn)用運(yùn)算法則和乘法公式，分析題目特點(diǎn)，掌握方法與技巧，以便使運(yùn)算過程簡(jiǎn)便.二次根式運(yùn)算結(jié)果應(yīng)盡可能化簡(jiǎn).另外，根式的分?jǐn)?shù)必須寫成假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)，不能寫成帶分?jǐn)?shù)。

　　(5)有理化因式：如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式。

　　一個(gè)含有二次根式的代數(shù)式的有理化因式不先進(jìn)。如√a與√a(或者√a與-√a)，√a-√b與√a+√b(或者√a-√b與-√a-√b)互為有理化因式。

　　6、二次根式的比較(重點(diǎn))：

　　比較二次根式大小的幾種基本方法，如求近似值法、比較被開方數(shù)法，“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒數(shù)”、“平方”等方法。

　　1)移動(dòng)因式法：就是將根號(hào)外的正因式移入根號(hào)內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小。

　　2)運(yùn)用平方法：兩邊同時(shí)平方,轉(zhuǎn)化為比較冪的大小。

　　3)分母有理化法：此法是先將各自的分母有理化，再進(jìn)行比較。

　　4)分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。

　　5)求倒數(shù)法：先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進(jìn)行比較。

　　6)運(yùn)用媒介法：此法是借助中間量(定量或變量)巧妙轉(zhuǎn)換達(dá)到直觀比較的方法，類似于解方程中的換元法。

　　初中數(shù)學(xué)二次根式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：1.利用從特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規(guī)律探索性問題;2.利用二次根式解決長(zhǎng)度、高度問題，根據(jù)已知量，求出一些長(zhǎng)度或高度，或設(shè)計(jì)省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個(gè)過程需要用到二次根式的，其實(shí)就是化簡(jiǎn)求值。

　　初中數(shù)學(xué)二次根式常見考法：

　　(1)設(shè)計(jì)一些規(guī)律探索問題提高孩子的想象力和創(chuàng)造力;(2)聯(lián)系生活實(shí)際設(shè)計(jì)一些方案探究題。

　　初中數(shù)學(xué)二次根式誤區(qū)提醒：

　　(1)不能通過觀察，歸納、猜想尋找出共同的規(guī)律，并運(yùn)用這種規(guī)律解決問題;

　　(2)不會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題。

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