中關(guān)村中學初三零模

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1三角形中常見輔助線的添加

　　1. 與角平分線有關(guān)的

　　(1) 可向兩邊作垂線。

　　(2)可作平行線，構(gòu)造等腰三角形

　　(3)在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形

　　2. 與線段長度相關(guān)的

　　(1)截長:證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可

　　(2)補短:證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可

　　(3)倍長中線:題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。

　　(4)遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。

　　3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的

　　(1)考慮三線合一

　　(2)旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60 °

　   2圓中常見輔助線的添加

　　1. 遇到弦時(解決有關(guān)弦的問題時)

　　常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑(或直徑)或再連結(jié)過弦的端點的半徑。

　　作用:

　�、� 利用垂徑定理

　�、� 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系

　　③ 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量

　　2. 遇到有直徑時

　　常常添加(畫)直徑所對的圓周角

　　作用:利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形

　　3. 遇到90度的圓周角時

　　常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點

　　作用:利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑

　　4. 遇到弦時

　　常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點

　　作用:

　�、倏傻玫妊�三角形

　�、趽�(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角

　　5. 遇到有切線時

　　常常添加過切點的半徑(連結(jié)圓心和切點)

　　作用:利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

　　常常添加連結(jié)圓上一點和切點

　　作用:可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。

　　6. 遇到證明某一直線是圓的切線時

　　(1) 若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

　　作用:若OA=r，則l為切線

　　(2) 若直線過圓上的某一點，則連結(jié)這點和圓心(即作半徑)

　　作用:只需證OA⊥l，則l為切線

　　(3) 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線

　　7. 遇到兩相交切線時(切線長)

　　常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點

　　作用:據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到

　�、� 角、線段的等量關(guān)系

　�、� 垂直關(guān)系

　　③ 全等、相似三角形

　　8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時

　　連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段

　　作用:利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得

　�、� 內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線

　　② 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等

　　9. 遇到三角形的外接圓時

　　連結(jié)外心和各頂點

　　作用:外心到三角形各頂點的距離相等

　　10. 遇到兩圓外離時

　　(解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題)常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線

　　作用:

　　①利用切線的性質(zhì);

　�、诶�用解直角三角形的有關(guān)知識

　　11. 遇到兩圓相交時

　　常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等

　　作用:

　�、倮�用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識

　�、� 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

　�、� 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)

　�、� 垂徑定理

　　12. 遇到兩圓相切時

　　常常作連心線、公切線

　　作用:

　�、倮�用連心線性質(zhì)

　�、谇芯�性質(zhì)等

　　13. 遇到三個圓兩兩外切時

　　常常作每兩個圓的連心線

　　作用:可利用連心線性質(zhì)

　　14. 遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時

　　常常添加輔助圓

　　作用:以便利用圓的性質(zhì)

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