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中考數(shù)學輔導:靈活的圓中角(組圖)

2010-09-06 09:20:49  來源:天津網(wǎng)-城市快報

  

  角是幾何圖形中較重要的元素,是判斷三角形全等、三角形相似的重要條件,而圓的旋轉(zhuǎn)不變性和對稱性,又賦予了角極強的靈活性,使得角之間的相互轉(zhuǎn)化成為了解題的關(guān)鍵要素。


  下面主要介紹圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角與內(nèi)對角之間的相互轉(zhuǎn)化問題。特別指出在理解圓中角時,要注意角的頂點與圓的位置關(guān)系、角的兩邊與圓的位置關(guān)系;在運用圓中角時,要關(guān)注弧的中介作用;緢D形如下:


  (1)一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半;


  (2)同弧或等弧所對的圓周角相等;


  (3)直徑所對的圓周角是90°;


  (4)圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角;


  (5)圓內(nèi)接四邊形,一條邊所對的兩個圓周角相等;


  (6)如圖,像∠APB這樣頂點在圓內(nèi),兩邊都與圓相交的角我們定義為圓內(nèi)角,由三角形外角的性質(zhì)可以得到∠APB=∠ADB+∠CBD,即圓內(nèi)角可以通過圓周角進行轉(zhuǎn)換,實質(zhì)上∠APB=■(弧AB的度數(shù)+弧CD的度數(shù));


  (7)如圖,像∠APB這樣頂點在圓外,兩邊都與圓相交的角我們定義為圓外角,由三角形外角的性質(zhì)可以得到∠APB=∠ADB-∠CBD,即圓外角可以通過圓周角進行轉(zhuǎn)換,實質(zhì)上∠APB=■(弧AB的度數(shù)弧-CD的度數(shù))。


  例1.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,若∠OAB=28°,則∠C的大小為(   )


  A.28°  B.56°  C.60°  D.62°


  此題為2009年天津市中功課數(shù)學選擇第9題,具體解法為連結(jié)OB,△OAB為以圓心為頂點的等腰三角形,則∠OAB=∠OBA=28°,所以∠AOB=124°,結(jié)合基本圖形(1),所以∠C=62°。


  例2.已知,O是△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A的度數(shù)。


  解:分兩種情況討論:


  (1)當O在△ABC內(nèi)部時:


  ∠A=■∠BOC=■×130°=65°


  (2)當O在△ABC外部時:由∠BOC=130°,得劣弧■的度數(shù)130°,則■的度數(shù)=360°-130°=230°


  ∴∠A=115°


  綜上所述∠A=65°或115°


  此題意在考查基本圖形(1)及圓中一條弦所對的圓周角有兩種情況,提醒同學們特別注意由圓的特性導致的雙解題型。 

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