高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

2021-09-25 22:52:01 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

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　　二次函數(shù)

　　I.定義與定義表達(dá)式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a

　　則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

　　II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

　　一般式:y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

　　頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

　　交點(diǎn)式:y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x? ，0)和 B(x?，0)的拋物線]

　　注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質(zhì)

　　1.拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線

　　x= -b/2a。

　　對(duì)稱(chēng)軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸(即直線x=0)

　　2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

　　P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

　　當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

　　3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

　　當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

　　|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

　　4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。

　　當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左;

　　當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。

　　5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

　　Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

　　Δ= b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)

　　V.二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)(以下稱(chēng)函數(shù))y=ax^2+bx+c，

　　當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程)，即ax^2+bx+c=0

　　此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸如下表:

　　解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸

　　y=ax^2 (0，0) x=0

　　y=a(x-h)^2 (h，0) x=h

　　y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h

　　y=ax^2+bx+c (-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

　　當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，

　　當(dāng)h

　　當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2 +k的圖象;

　　當(dāng)h>0,k

　　當(dāng)h<0,k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

　　當(dāng)h

　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫(huà)圖象提供了方便.

　　2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a

　　3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a

　　4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);

　　(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|

　　當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);

　　當(dāng)△<0.圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0;當(dāng)a

　　5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a

　　頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.

　　6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

　　(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式:

　　y=ax^2+bx+c(a≠0).

　　(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

　　(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

　　7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).

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