排列組合公式

2018-07-26 22:05:04 　來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)整理

　　排列組合公式！排列組合是組合學(xué)較基本的概念。所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序。組合則是指從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序。下面為大家分享排列組合公式!希望能幫到大家！

公式：

排列組合公式(2張)

　　此外規(guī)定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6!=6x5x4x3x2x1 [1] 組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合;從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào) C(n,m) 表示。公式：

;C(n,m)=C(n,n-m)。(n≥m)其他排列與組合公式從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為 n!/(n1!×n2!×...×nk!). k類元素，每類的個(gè)數(shù)無(wú)限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為C(m+k-1,m)。

　　符號(hào)

常見(jiàn)的一道題目C-Combination 組合數(shù) [2] A-Arrangement 排列數(shù)(在舊教材為P-Permutation)N-Number 元素的總個(gè)數(shù)M- 參與選擇的元素個(gè)數(shù)!- Factorial階乘

　　基本計(jì)數(shù)原理⑴加法原理和分類計(jì)數(shù)法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在

　　組合恒等式(2張)

　　先進(jìn)類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。⒉先進(jìn)類辦法的方法屬于集合A1，第二類辦法的方法屬于集合A2，……，第n類辦法的方法屬于集合An，那么完成這件事的方法屬于集合A1UA2U…UAn。⒊分類的要求：每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù);兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重);完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。⑵乘法原理和分步計(jì)數(shù)法⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做先進(jìn)步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。⒉合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù);各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立;只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同。3.與后來(lái)的離散型隨機(jī)變量也有密切相關(guān)。

　　二項(xiàng)式定理

. [3] 通項(xiàng)公式：a_(i+1)=C(in)a^(n-i)b^i二項(xiàng)式系數(shù)：C(in)楊輝三角：右圖。兩端是1，除1外的每個(gè)數(shù)是肩上兩數(shù)之和。系數(shù)性質(zhì)：⑴和首末兩端等距離的系數(shù)相等;⑵當(dāng)二項(xiàng)式指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)較大且相等;

⑶當(dāng)二項(xiàng)式指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)較大;⑷二項(xiàng)式展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)總和相同，都是2^(n-1);⑸二項(xiàng)式展開(kāi)式中所有系數(shù)總和是2^n

　　組合數(shù)的奇偶奇偶定義：對(duì)組合數(shù)C(n,k)(n>=k)：將n,k分別化為二進(jìn)制，若某二進(jìn)制位對(duì)應(yīng)的n為0，而k為1 ，則C(n,k)為偶數(shù);否則為奇數(shù)。下面是判定方法：結(jié)論：對(duì)于C(n,k)，若n&k == k 則c(n,k)為奇數(shù)，否則為偶數(shù)。證明：對(duì)于C(n,k)，若n&k == k 則c(n,k)為奇數(shù)，否則為偶數(shù)。

證明：利用數(shù)學(xué)歸納法：由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);對(duì)應(yīng)于楊輝三角：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1………………可以驗(yàn)證前面幾層及k = 0時(shí)滿足結(jié)論，下面證明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 滿足結(jié)論的情況下，C(n,k)滿足結(jié)論。

1).假設(shè)C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為奇數(shù)：則有：(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) == k-1;由于k和k-1的較后一位(在這里的位指的是二進(jìn)制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的較后一位必然是1�，F(xiàn)假設(shè)n&k == k。則同樣因?yàn)閚-1和n的較后一位不同推出k的較后一位是1。因?yàn)閚-1的較后一位是1，則n的較后一位是0，所以n&k != k，與假設(shè)矛盾。所以得n&k != k。

2).假設(shè)C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為偶數(shù)：則有：(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) != k-1;現(xiàn)假設(shè)n&k == k.則對(duì)于k較后一位為1的情況：此時(shí)n較后一位也為1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，與假設(shè)矛盾。而對(duì)于k較后一位為0的情況：則k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意個(gè)0。相應(yīng)的，n對(duì)應(yīng)的部分為：1{*}*; *代表0或1。而若n對(duì)應(yīng)的{*}*中只要有一個(gè)為1，則(n-1)&k == k成立，所以n對(duì)應(yīng)部分也應(yīng)該是10。則相應(yīng)的，k-1和n-1的末尾部分均為01，所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，與假設(shè)矛盾。所以得n&k != k。由1)和2)得出當(dāng)C(n,k)是偶數(shù)時(shí)，n&k != k。

3).假設(shè)C(n-1,k)為奇數(shù)而C(n-1,k-1)為偶數(shù)：則有：(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) != k-1;顯然，k的較后一位只能是0，否則由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。所以k的末尾必有一部分形如：10;相應(yīng)的，n-1的對(duì)應(yīng)部分為：1{*}*;相應(yīng)的，k-1的對(duì)應(yīng)部分為：01;則若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 則要求n-1對(duì)應(yīng)的{*}*中至少有一個(gè)是0.所以n的對(duì)應(yīng)部分也就為：1{*}*; (不會(huì)因?yàn)檫M(jìn)位變1為0)所以 n&k = k。

4).假設(shè)C(n-1,k)為偶數(shù)而C(n-1,k-1)為奇數(shù)：則有：(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) == k-1;分兩種情況：當(dāng)k-1的較后一位為0時(shí)：則k-1的末尾必有一部分形如：10;相應(yīng)的，k的對(duì)應(yīng)部分為 : 11;相應(yīng)的，n-1的對(duì)應(yīng)部分為 : 1{*}0; (若為1{*}1，則(n-1)&k == k)相應(yīng)的，n的對(duì)應(yīng)部分為 : 1{*}1;所以n&k = k。當(dāng)k-1的較后一位為1時(shí)：則k-1的末尾必有一部分形如：01; (前面的0可以是附加上去的)相應(yīng)的，k的對(duì)應(yīng)部分為 : 10;相應(yīng)的，n-1的對(duì)應(yīng)部分為 : 01; (若為11，則(n-1)&k == k)相應(yīng)的，n的對(duì)應(yīng)部分為 : 10;所以n&k = k。由3)，4)得出當(dāng)C(n,k)為奇數(shù)時(shí)，n&k = k。綜上，結(jié)論得證。

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