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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之向量運(yùn)算！元旦大家過的如何？這個小長假之后就要迎來期末診斷了。向量運(yùn)算存在立體幾何的題中，或者是單獨(dú)出在選擇題和填空題。愛智康助力期末診斷，下面是高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之向量運(yùn)算希望對同學(xué)們有幫助！
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高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之向量運(yùn)算(一)
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之向量運(yùn)算(二)
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的運(yùn)算律：
交換律：a+b=b+a;
結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0
AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn),指向被減”
a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').
4、數(shù)乘向量
實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣.
當(dāng)λ>0時,λa與a同方向;
當(dāng)λ<0時,λa與a反方向;
當(dāng)λ=0時,λa=0,方向任意.
當(dāng)a=0時,對于任意實數(shù)λ,都有λa=0.
注：按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.
當(dāng)∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;
當(dāng)∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍.
數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律
結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb).
向量對于數(shù)的分配律(先進(jìn)分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
數(shù)乘向量的消去律：① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
高三期末-高三期末數(shù)學(xué)之向量運(yùn)算(三)
3、向量的的數(shù)量積
定義：已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個數(shù)量,記作a?b.若a、b不共線,則a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共線,則a?b=+-∣a∣∣b∣.
向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'.
向量的數(shù)量積的運(yùn)算律
a?b=b?a(交換律);
(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);
(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);
向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a?a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a?b=0.
|a?b|≤|a|?|b|.
向量的數(shù)量積與實數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)
1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.
2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即：由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
4、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0.
向量的向量積性質(zhì)：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
向量的向量積運(yùn)算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
�、� 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時,左邊取等號;
�、� 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時,右邊取等號.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
�、� 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時,左邊取等號;
�、� 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時,右邊取等號.
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