小學小學數(shù)學30個知識點大盤點(3)

　　16.約數(shù)與倍數(shù)

　　約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

　　公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù);其中較大的一個，叫做這幾個數(shù)的較大公約數(shù)。

　　較大公約數(shù)的性質(zhì)：

　　1、幾個數(shù)都除以它們的較大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。

　　2、幾個數(shù)的較大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

　　3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的較大公約數(shù)的約數(shù)。

　　4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的較大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的較大公約數(shù)乘以m。

　　例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;

　　18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;

　　那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

　　那么12和18較大的公約數(shù)是：6，記作(12，18)=6;

　　求較大公約數(shù)基本方法：

　　1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

　　2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

　　3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的較大公約數(shù)。

　　公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù);其中較小的一個，叫做這幾個數(shù)的較小公倍數(shù)。

　　12的倍數(shù)有：12、24、36、48……;

　　18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;

　　那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……;

　　那么12和18較小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36;

　　較小公倍數(shù)的性質(zhì)：

　　1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們較小公倍數(shù)的倍數(shù)。

　　2、兩個數(shù)較大公約數(shù)與較小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

　　求較小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求較小公倍數(shù);2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

　　17.數(shù)的整除

　　一、基本概念和符號：

　　1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

　　2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;

　　二、整除判斷方法：

　　1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

　　2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

　　3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

　　4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

　　5.能被7整除：

　　①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

　　②逐次去掉較后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

　　6.能被11整除：

　�、倌┤�位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

　　②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉較后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

　　7.能被13整除：

　�、倌┤�位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

　�、谥鸫稳サ糨^后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性質(zhì)：

　　1.如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

　　2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

　　3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的較小公倍數(shù)整除。

　　18.余數(shù)及其應(yīng)用

　　基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余數(shù)的性質(zhì)：

　　①余數(shù)小于除數(shù)。

　�、谌鬭、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

　�、踑與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

　　④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

　　19.余數(shù)、同余與周期

　　一、同余的定義：

　�、偃魞蓚�整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

　�、谝阎�三個整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(modm)，讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質(zhì)：

　�、僮陨硇裕篴≡a(modm);

　�、趯ΨQ性：若a≡b(modm)，則b≡a(modm);

　　③傳遞性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm);

　　④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm);

　�、菹喑诵裕喝鬭≡b(modm)，c≡d(modm)，則a×c≡b×d(modm);

　�、蕹朔叫裕喝鬭≡b(modm)，則an≡bn(modm);

　�、咄�倍性：若a≡b(modm)，整數(shù)c，則a×c≡b×c(modm×c);

　　三、關(guān)于乘方的準備知識：

　�、偃鬉=a×b，則MA=Ma×b=(Ma)b

　　②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

　�、僖粋�自然數(shù)M，n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod9)或(mod3);

　　②一個自然數(shù)M，X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);

　　五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(modp)。

　　20.分數(shù)與百分數(shù)的應(yīng)用

　　基本概念與性質(zhì)：

　　分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

　　分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分數(shù)的大小不變。

　　分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

　　百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

　　常用方法：

　�、倌嫦蛩季S方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進行思考。

　�、趯�應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。

　�、坜D(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答。較常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系;把不同的標準(在分數(shù)中一般指的是一倍量)下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

　�、芗僭O(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出較后結(jié)果。

　　⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

　�、尢鎿Q思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

　　⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

　　⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

　　21.分數(shù)大小的比較

　　基本方法：

　�、偻ǚ址肿臃ǎ菏顾�有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系比較。

　�、谕ǚ址帜阜ǎ菏顾�有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關(guān)系比較。

　�、刍鶞蕯�(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。

　�、芊肿雍头帜复笮”容^法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。

　�、荼堵时容^法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分數(shù)的大小。(具體運用見同倍率變化規(guī)律)

　�、揶D(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)(求出分數(shù)的值)后進行比較。

　�、弑稊�(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比較。

　�、啻笮”容^法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。

　�、岬箶�(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

　　⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。

　　22.分數(shù)拆分

　　一、將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：

　�、�=+;

　�、�=+(d為自然數(shù));

　　23.完全平方數(shù)

　　完全平方數(shù)特征：

　　1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

　　2.除以3余0或余1;反之不成立。

　　3.除以4余0或余1;反之不成立。

　　4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù);反之成立。

　　5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù);反之不成立。

　　6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù);偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

　　7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

　　平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

　　完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

　　完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

　　24.比和比例

　　比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

　　比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

　　比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)(零除外)，比值不變。

　　比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a：b=c：d或

　　比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積(交叉相乘)，ad=bc。

　　正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍(AB的商不變時)，則A與B成正比。

　　反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時)，則A與B成反比。

　　比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

　　按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。